N, p, n sont des entiers naturels non nuls.

On considère un tableau rectangulaire T ayant n lignes numérotées de 1 à n et p colonnes numérotées de 1 à p.

Pour i variant de 1 à n et k variant de 1 à p, on inscrit à l'intersection de la ligne de rang i et de la colonne de rang k un entier a_ik compris, au sens large, entre 1 et N, c'est-à-dire vérifiant les inégalités 1 < a_ik < N.

Soit E_i l'ensemble des entiers figurant dans la ligne de rang i.

Question 1

Dans cette question, on impose au tableau T les deux conditions suivantes :

1. Pour i variant de 1 à n, E_i a exactement p éléments ;
2. Pour deux rangs distincts i et j, les ensembles E_i et E_j sont différents.

Soit m la plus petite valeur de N permettant de constituer, pour des valeurs données de n et de p, un tableau T satisfaisant aux deux conditions précédentes.  
 
a. Calculer m pour n = p + 1.

b. Calculer m pour n = 10³⁰ et p = 1988.

c. Déterminer la limite de lorsque, p étant fixé, n tend vers l'infini.

Question 2

Dans cette question, on impose au tableau T, à la place des conditions précédentes, les deux conditions suivantes :

• 1. p = n ;
• 2. Pour tout couple d'entiers naturels non nuls (i, k), tel que i + k < n, l'entier a_ik n'appartient pas à l'ensemble E_{i + k}.  

a. Montrer que, pour i et j distincts, E_i et E_j sont différents.

b. Montrer que si n > 2^q, q étant un entier positif non nul, alors N > q + 1.

c. On suppose que n = 2^r - 1, r étant un entier non nul donné.

Montrer que l'on a : N > r. Montrer que l'on peut effectivement construire un tel tableau pour N = r.

Déterminer, pour n entier positif, le signe de n⁶ + 5n⁵sin n + 1.

Déterminer pour quels entiers positifs n l'inégalité suivante est vérifiée :

On considère deux sphères S₁ et S₂ et une droite (D) ne les rencontrant pas.

Pour i = 1 et i = 2, on désigne par C_i le centre de S_i, par H_i la projection orthogonale de C_i sur (D), par r_i le rayon de S_i et par d_i la distance de C_i à (D).

Soit M un point de (D) et, pour i = 1 et i = 2, T_i le point de contact avec S_i d'un plan tangent à S_i passant par M ; on pose d_i(M) = MT_i.

Situer M sur (D) de façon à ce que la quantité d₁(M) + d₂(M) soit minimale.

Dans le plan, on considère un cercle (C) et cinq points distincts M₁, M₂, M₃, M₄ et M situés sur (C).

Montrer que le produit des distances de M aux droites (M₁M₂) et (M₃M₄) est égal au produit des distances de M aux droites (M₁M₃) et (M₂M₄).

Que peut-on en déduire pour (2n + 1) points distincts M₁, M₂, ..., M_2n, M situés sur (C) ?