On se donne une partie B du plan et l'on considère les parties A du plan contenant B et possédant la propriété (P) :

« Toute composée d'un nombre impaire de symétries centrales de centres appartenant à A est une symétrie centrale dont le centre appartient aussi à A. »

Plus précisément, on se propose de déterminer la plus petite de ces parties, que l'on notera (A), c'est-à-dire celle qui est contenue dans chacune des parties A.  
 
1. Déterminer la partie (A) lorsque la partie B donnée est formée :
    a. De deux points distincts I et J.
    b. De trois points non alignés I, J et K.  
 
2. Déterminer la partie (A) lorsque la partie B est un cercle de rayon non nul.  
 
3. Donner plusieurs exemples de parties B telles que les parties (A) associées soient distinctes entre elles et différentes des précédentes.

1. Soit z₁ et z₂ deux nombres complexes tels que z₁z₂ = 1 et | z₁ - z₂| = 2.

On désigne par A, B, M₁ et M₂ les points d'affixes respectives -1, 1, z₁ et z₂.
Montrer que le quadrilatère AM₁BM₂ est en général un trapèze isocèle dont on calculera la longueur des côtés non parallèles.
Préciser les cas particuliers.  
 
2. Soient O₁ et O₂ deux points distincts du plan et (C₁), (C₂) les cercles de centre O₁, O₂ et de rayon où 2d = O₁O₂.

Deux points mobiles P et Q se déplacent respectivement sur les cercles (C₁) et (C₂) de façon que :
*   PQ = 2d
*   les points P et Q sont soit sur la droite (O₁O₂) soit de part et d'autre de (O₁O₂).

Démontrer que le milieu I du segment [PQ] décrit une ligne de niveau de l'application
f : M   MO₁ ^. MO₂ lorsque P décrit le cercle (C₁).

Déterminer le plus grand nombre réel k tel que, pour tout tétraèdre ABCD de volume V, le produit des aires des faces ABC, ABD et ACD soit supérieur ou égal à kV².

Soient x₁, x₂, ..., x_n n nombres entiers naturels non nuls. Pour k, nombre entier compris au sens large entre 2 et n, on définit le nombre entier [x_k;x_{k - 1}; ^... ;x₁] par récurrence sur k en posant :
                                         [x₂;x₁] = x₂^x₁
si k > 3, [x_k;x_{k - 1}; ^... ;x₁] = x_k^{[x_{k - 1};x_{k - 2}; ... ;x₁]}

Par exemple, [a;b;c] = a^(bc).

Les deux questions sont indépendantes.

Question 1
Soient a₁, a₂, ..., a_n n nombres entiers distincts rangés dans l'ordre croissant et supérieurs ou égaux à 3, c'est-à-dire 3 < a₁ < a₂ < ^... < a_n.
Pour s permutation de l'ensemble 1, 2, ^... , n, on pose : P(s) = [a^s_(n) ; a^s_{(n - 1)}; ^... ; a^s₍₂₎ ; a^s₍₁₎].

Pour quelle permutation s, P(s) est-il minimum ?

Pour quelle permutation s, P(s) est-il maximum ?

On étudiera d'abord le cas de n = 2 puis celui de n = 3.

Question 2
Déterminer les nombres entiers a, b, c, d supérieurs ou égaux à 2 tels que :
                                        [178;9] < [a;b;c;d] < [198, 9].

Soient a₁, a₂, ..., a_n n nombres réels strictement positifs.
On pose :       et   
1. Soit l un nombre réel strictement supérieur à 1. Établir l'inégalité :
2. En déduire l'inégalité :