Exercice 1:  Correction
Soit la suite définie par:  

1. Calculer u₁₉₉₀.
2. Déterminer le nombre d'indices n, inférieurs ou égaux à 1990, tels que u_n=0.
3. Soit p un nombre entier naturel et n=(2^p-1) ².  Calculer u_n.

Exercice 2:
Un jeu est constitué de pièces en forme de tétraèdres réguliers d'arêtes de longueur 1.
Toutes ces pièces ont été peintes à l'aide d'une palette de n couleurs: chaque face d'un tétraèdre
est peinte d'une seule couleur et on précise que les quatre faces d'un tétraèdre ne sont pas
nécessairement de couleurs distinctes.

Déterminer le nombre maximum de pièces de ce jeu sachant que le jeu ne contient pas deux pièces identiques.

Exercice 3
a: Trouver trois nombres entiers naturels a, b , c , distincts  ou non, tels que:
     

b: Déterminer tous les nombres entiers naturels n tels  qu'il existe n nombre entiers naturels
    x₁,x₂,...,x_n    vérifiant:

Exercice 4:
Quelle est l'aire maximale d'un triangle dont les sommets   sont dans un carré donné ?
Quel est le volume maximal d'un tétraèdre  dont les sommets  sont dans un cube donné ?

Exercice 5:
 Pour tout triangle ABC, on note:
- G son cercle exinscrit dans l'angle du triangle de sommet A;
- A' , B' , C ' les points de contact respectifs de G avec les droites (BC),(CA) et (AB);
- S(ABC) l'aire de la portion du plan délimitée par les segments [AB'],[AC']
   et l'arc C'A'B' de G.

a: Montrer qu'il existe des triangles ABC, de périmètre 2p donné, pour lesquels l'aire
    S(ABC) est maximale.
b: Pour un tel triangle, donner une valeur approchée, à un degré près, de la mesure
    du triangle ABC de sommet A.