Correction Exercice 1 Coucours Général 1990

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Remarques Préalables sur la suite:
a) D'après la défintion de la suite, on a: u_2n = u_n et u_2n+1 = 1- u_n  
Donc, on a :u_2n+1  =  1 - u_2n   d'où   u_2n+1  +  u_2n  = 1 , pour tout n entier naturel.

De plus, en pour tout entier naturel n, on a : n = 2^km  où pgcd(2,m) = 1
et u_n = u_m   .

b) Le calcul des premiers termes de cette suite donne:
u₀  = 0
u₁  = 1 - u₀ = 1
u₂  =  u₁  = 1
u₃  =  1 - u₁ = 0
u₄    = u₂  = 1 , etc , etc ...

c) Tous les termes de cette suite sont dans {0 ; 1}.
Effectivement, cela se voit directement par réccurence en reprenant la définition de la suite.
Supposons que pour tout k < n , u_k  est dans {0;1}.
Si n+1 est pair alors n+1 = 2K et u_n+1  = u_K  avec k < n
Si n+1 est impair, alors u_n+1 = 1 - u_n  .
Dans les 2 cas, on a bien u_n+1  dans {0;1}.
Comme cette propriété est vraie pour n = 0 , 1 , 2 , 3  (voir les calculs au-dessus), on peut conclure.

1: Calcul de u₁₉₉₀ . 
u₁₉₉₀ = u₉₉₅ = 1 - u₄₉₇   =  u₄₉₆   =   u₃₁    =  1 -  u₁₅   =   u₁₄ = u₇  = 1 - u₃  =   1

2: Nombre d'indices n < 1990 tels que u_n = 0.
Posons V_n  = u_2n  +  u_2n+1   . D'après la remarque a) , pour tout entier naturel n, on a:
V_n = 1.
De plus,  V₀ + V₁  + ... + V_n  = (n+1) .
D'où V₀ + V₁  + ... + V_n  = (u₀ + u₁ ) + (u₂ + u₃ ) + .... (u_2n  + u_2n+1 ) = (n+1)
Tous les termes de la suite (u_n) sont dans {0;1},  et (u_2k + u_2k+1 )= 1 pour tout k < n.
Le nombre de termes égaux à 1de la suite (u) d'indices < 2n+1 est donc (n+1).
Et le nombre de termes ègaux à 0 est n+1. (il y a 2n+2 termes de 0 à 2n+1 ..)
En particulier, pour 2n+1 = 1989 , on a 995 termes d'indices < 1989 égaux à 0.
Comme u₁₉₉₀  = 1 , la réponse est alors 995.

3: Soit p un nombre entier naturel et n=(2^p-1) ².  Calculer u_n.
Soit p en entier > 1.

De même

D'où:

Or:

D'où pour tout p > 1 :
.

Comme tous les termes de la suite (u) sont identiques à 0 ou 1, et que u₁ = 1 (cas où p=1),
on en déduit que u_n = 0 si p est pair et u_n = 1 si p est impair