Exercice 1:
Soit x
, n 
IN
une suite de nombres réels telle que, pour tout nombre entier
naturel n:
a: Montrer que, pour tout entier naturel n,
il existe un entier naturel m
tel que:
b: Si n et p sont deux nombres entiers naturels non nuls, on pose: S{n , p}=1p+2p+ ... +n p.
Déterminer les
entiers naturels non nuls p
tels que, quel que soit l'entier naturel non nul n,
S{n , p}
soit le carré d'un nombre entier naturel.
Exercice 2:
Correction
A
tout nombre entier naturel non nul n,
on associe l'application f n
de la variable réelle x,
définie pour x>
n par:
a: Dans cette question, l'entier n
est fixé. Montrer que f n
est croissante et que 
b: Déterminer la limite de la suite de terme général f n(n).
Exerice 3:
Soit
S un point fixe
d'une sphère fixe S
de centre W.
On considère les tétraèdres SABC
inscrits dans la sphère S
et dont les arêtes issues de S
sont deux à deux orthogonales.
a: Montrer que les plans
(ABC) passent
par un point fixe.
b: Pour un tel tétraèdre SABC,
le point S et
le centre W
de la sphère S
se projettent orthogonalement sur le plan (ABC)
respectivement en H
et O. On note
R le rayon du
cercle circonscrit au triangle ABC.
Démontrer
que: R2
= OH2+2
SH2.
Exercice 4:
Soit
p un nombre entier
naturel et n=2
p.
On
considère les parties A
de l'ensemble E={1,2,
... ,n } possédant
la propriété suivante:
si
x appartient
à A, alors
2x n'appartient
pas à A.
Déterminer
le nombre maximal d'éléments d'une telle partie A.
Exercice 5:
On considère l'application P
de 
dans
définie par:
où a1,a2,a3
et a4
sont quatre nombres complexes donnés.
On pose 
,
où L
désigne un nombre entier compris entre
0 et 4.
a: Montrer que 
b: Soient A1,
A2,A3,
A4, A5
cinq points du plan.
On
construit un pentagone régulier inscrit dans le cercle de
centre A1
et de rayon donné R.
Démontrer qu'il existe un sommet S
du pentagone tel que SA1.SA2.SA3.SA4.SA5
>
R5.