Exercice 1:
On dit qu'une partie non vide D
du plan P est convexe si elle possède la propriété
suivante :
Soit D une partie convexe du plan P. Si A est un point de P, à tout couple (M, N) de points de
D on associe le point m défini par 
et on pose
dA(D)
l'ensemble des points m ainsi obtenus.
1. a.
Montrer que dA(D) admet un
centre de symétrie.
b. A quelle condition a-t-on dA(D)
= D ?
c. Soit B et C deux points du plan P.
Par quelle transformation passe-t-on de dB(D)
à dC(D) ?
2. Soit A un point du plan P. Déterminer et représenter dA(D)
lorsque :
a. D est une bande du plan P délimitée par deux droites parallèles.
b. D est délimitée par un triangle.
c. D est un demi-disque.
3.
Montrer que dans les cas 2.b. et 2.c., les contours de D et dA(D) ont la
même longueur.
Exercice 2:
Soit (C) un cercle du plan de rayon 1.
1. Déterminer les triangles ABC inscrits dans le cercle (C) pour lesquels la somme
AB2 + BC2 + CA2 est
maximale.
2. Déterminer les quadrilatères ABCD
inscrits dans le cercle (C) pour lesquels la somme
AB2 + AC2 + AD2 +
BC2 + BD2 + CD2 est
maximale.
Représenter un tel quadrilatère.
Exercice 3:
Soit ABCD un tétraèdre inscrit dans une sphère de centre O. On
note G l'isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre et I le
centre de la sphère inscrite dans le tétraèdre.
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
- Les deux points O et G sont confondus.
- Les quatre faces du tétraèdre sont isométriques.
- Les deux points O et I sont confondus.
Exercice 4:
Soit 
la
suite numérique définie par la donnée de ses deux premiers termes
u0 et u1,
0 < u0 < 1
et 0 < u1 < 1, et la relation de récurrence :
2. Montrer qu'à partir d'un certain rang n0, la suite (un) est monotone
(on ne demande pas de déterminer n0 qui dépend des valeurs initiales u0 et u1).
Exercice 5:
Déterminer le chiffre des unités du plus grand nombre entier inférieur ou
égal au nombre suivant :
