Exercice 1:
On appelle « boîte de poids » tout ensemble de poids comprenant :

Les nombres x_i et d_i (pour 1  <  i <  k) étant des entiers naturels non nuls tels que
                                                1 < d₁ < d₂ < ^... < d_k
On pose n = x₁d₁ + x₂d₂ + ^... + x_kd_k et on dit que la masse totale de la boîte est n grammes. Cette boîte de poids est dite « parfaite » si elle permet d'obtenir, de manière unique, toute masse de 0, 1, ..., n grammes, c'est-à-dire si, pour tout entier m de l'ensemble {0, 1, ... , n}, il existe des entiers y₁, y₂, ..., y_k uniques tels que pour tout indice i, 1 < I  < k, on ait
                         :0 < y_i < x_i          et           m = y₁d₁ + y₂d₂ + ... + y_kd_k.  
1. Déterminer toutes les boîtes de poids de masse totale 5 grammes.
    Quelles sont celles qui sont parfaites ?  
2. Montrer que pour une boîte de poids parfaite de masse totale n grammes, on a,
     avec les notations du préambule :    (1 + x₁)(1 + x₂) ^... (1 + x_k) = n + 1

3. Inversement, on se donne k entiers x₁, x₂, ..., x_k strictement positifs (k non nul), et on
     définit n par :        n + 1 = (1 + x₁)(1 + x₂) ^... (1 + x_k)
     Montrer qu'il existe des entiers d₁, d₂, ..., d_k uniques avec 1 < d₁ < d₂ < ^... < d_k tels que
      la boîte de poids composée comme dans le préambule soit parfaite.
4. Déterminer toutes les boîtes de poids parfaites de masse totale 1993 grammes.

Exercice 2:
Soit n un entier strictement positif donné.
1. Existe-t-il 2n + 1 entiers naturels consécutifs a₀, a₁, ..., a_2n rangés dans l'ordre croissant
    vérifiant a₀ + a₁ + ^... + a_n = a_{n + 1} + ^... + a_2n ? 
2. Existe-t-il 2n + 1 entiers naturels consécutifs a₀, a₁, ..., a_2n rangés dans l'ordre croissant
     vérifiant a₀² + a₁² + ^... + a_n² = a_{n + 1}² + ^... + a_2n² ?  
3. Existe-t-il 2n + 1 entiers naturels consécutifs a₀, a₁, ..., a_2n rangés dans l'ordre croissant
     vérifiant  a₀³ + a₁³ + ^... + a_n³ = a_{n + 1}³ + ^... + a_2n³ ?

Pour cette question, on pourra étudier les variations de la fonction  f définie sur R par
               f (x) = (x - n)³ + (x - n + 1)³ + ^... + x³ - (x + 1)³ - ^... - (x + n)³.

On montrera que l'équation f (x) = 0 admet une solution unique x_n vérifiant
                         3n(n + 1) < x_n < 3n(n + 1) + 1.

On pourra utiliser l'égalité :        

Exercice 3:
Soit f une application de l'ensemble Z des entiers relatifs dans l'ensemble R des réels.
On suppose que f est minorée et vérifie :

Montrer que l'application f est constante.

Exercice 4:
Soit dans le plan un disque D de rayon 1.
1. Montrer qu'il est impossible de recouvrir le disque D avec deux disques de même rayon r,
    lorsque r est strictement inférieur à 1.
2. Montrer que, pour certaines valeurs de r, r < 1, il est possible de recouvrir le disque D avec
    trois disques de même rayon r.
   Quelle est la plus petite valeur de r permettant un tel recouvrement ?

Exercice 5:
1. Soient A et B deux points distincts de l'espace.
    a. Parmi les triangles MAB d'aire donnée, quels sont ceux de périmètre minimal ?
    b. Parmi les triangles MAB de périmètre donné, quels sont ceux d'aire maximale ?  
 
2. Soit, dans un tétraèdre de volume V, a, b, c, d les longueurs de quatre arêtes, telles que
    trois quelconques d'entre elles ne soient pas coplanaires, et L = a + b + c + d.
    Déterminer la valeur maximale de :