Exercice 1:
Pour tout entier naturel n, on note In le nombre
d'entier p pour lesquels 50n < 7p < 50n + 1.
1. Démontrer que pour tout entier n, In
vaut 2 ou 3.
2. Démontrer qu'il existe une infinité
d'entiers n pour lesquels In vaut 3 et donner
le plus
petit d'entre eux.
Exercice 2:
Soit S une demi sphère et P le plan contenant
son cercle de base.
Un plan variable Q, parallèle à un plan fixe non
perpendiculaire à P, coupe S suivant un
cercle C. On désigne par C ' le projeté orthogonal de C
sur P.
Comment doit-on placer le plan Q pour que le cylindre de bases C et C
'
ait un volume maximal ?
Exercice 3:
On définit une application f de N* dans N par :
f (1) = 0 et
tant que uk appartient à N*, uk + 1 = f (uk).
1. Montrer que pour tout choix de p, il existe un unique entier v(p) tel que uv(p) = 0.
2. a. Calculer v(1994). Quel est le plus petit entier p tel que v(p) = v(1994) ?
b. Étant donné un entier N, déterminer le plus petit entier p tel que v(p) = N.
Exercice 4:
Soit ABC un triangle. Si P est un point de son plan, on note
L, M, N les projetés orthogonaux de P respectivement
sur (BC), (CA) et (AB).
Déterminer le point P pour
lequel la quantité BL 2 + CM 2 + AN
2 est
minimale.
Exercice 5:
Soit f une application de N dans N telle que f (1) > 0 et quels que
soient les entiers naturels m et n, on a f (m
2 + n 2 ) = [f
(m)]2 + [f (n)]2.
1. Calculer f (k) pour 0 < k <
12.
2. Calculer f (n), n étant un entier
quelconque.