Exercice 1
On a placé un jeton sur chaque sommet d'un polygone régulier à 1997 côtés.
Sur chacun de ces jetons est inscrit un entier relatif, la somme des ces entiers relatifs étant égale à 1.
On choisit un sommet de départ et on parcourt dans le sens trigonométrique en ramassant au fur et à mesure les jetons tant que la somme des entiers inscrits est strictement positive.

Peut-on choisir le sommet de départ de façon à ramasser tous les jetons?

Si oui, combien y-a-t-il de choix possibles?

Exercice 2
Une capsule spatiale a la forme du solide de révolution délimité par une sphère de centre O, de rayon R et un cône de sommet O qui rencontre cette sphère selon un cercle de rayon r.

Quel est le volume maximal d'un cylindre droit contenu dans cette capsule, le cylindre et la capsule ayant le mêm axe de révolution?

Exercice 3
C est un cube d'arête 1 et p est la projection orthogonale sur un plan.

Quelle est la valeur maximale de l'aire de p(C)?

Exercice 4
Etant donné un triangle ABC, on note a ,b et c les longueurs de ses côtés, et m , n , p les longueurs de ses médianes.

Pour tout x strictement positif, on définit le réel f(x) par la relation:

* Calculez f(2).

* Calculez la limite de f(x) lorsque x tend vers 0.

* A quelle condition portant sur a, b, et c, le réel f(x) est-il indépendant de x?

Exercice 5
Dans le plan, soient A et B deux points distincts. Pour tout point C extérieur à la droite (AB), on G l'isobarycentre du triangle ABC et I le centre de cercle inscrit.

1) Soit a un réel tel que 0 < a < p.
    Quel est l'ensemble G des points C tels que   ?
    Lorsque C décrit G, montrez que G et I décrivent deux arcs de cercle que l'on précisera.
2) On suppose que < a <p.
    Comment choisir C dans G pour que la distance GI soit minimale?
3) On note f(a  ) la distance GI de la question précédente.
    Explicitez f(a ) en fonction de a = AB et de a.
    Déterminez la valeur maximale de f( a ) lorsque a décrit l'intervalle ] ; p [