Exercice 1
Un tétraèdre ABCD vérifie les conditions suivantes :
(a) les arêtes AB, AC et AD sont deux à deux orthogonales ;
(b) AB = 3 et CD = 
Déterminer la valeur minimale de BC⁶ + BD⁶ - AC⁶ - AD⁶.

CORRECTION

Exercice 2
Soit  (U_n) une suite réelle vérifiant, pour tout entier naturel n, la relation :
                                               U_n+2 = |U_n+1| - U_n
Montrer qu'il existe un entier p non nul tel que la relation  U_n = U_n+p
ait lieu pour tout entier naturel n.
 

Exercice 3
Pour tout réel x on note E (x) le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Soit k un entier fixé, supérieur ou égal à 2. On considère la fonction f de N dans N définie par :

                                              .
Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la fonction f.

CORRECTION

Exercice 4
On considère deux droites D₁ et D₂ sécantes en O, et un point M n'appartenant à aucune de ces deux droites. On considère deux points variables, A sur D₁ et B sur D₂, tels que le point M appartienne au segment [AB].
(Les questions 1 et 2 sont indépendantes)

1) Montrer qu'il existe une position des points A et B pour laquelle l'aire du triangle
    OAB est minimale. Construire les points A et B ainsi déterminés.
CORRECTION

2) Montrer qu'il existe une position des points A et B pour laquelle le périmètre du
     triangle OAB est minimal et qu'on a alors l'égalité des périmètres des triangles
     OAM et OBM, ainsi que la relation :

      Construire les points A et B ainsi déterminés.

Exercice 5
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On considère un ensemble A de n points du plan, cet ensemble ne contenant pas trois points alignés.
Montrer qu'il existe un ensemble S de 2 n - 5 points du plan tel que pour tout triangle dont les sommets sont des points de A il existe au moins un point de S qui lui soit strictement intérieur.