On remarque, tout d'abord, que l'on a:
BC6 - AC6 = (BC2 - AC2).
((BC2 - AC2)2 + 3.BC2.AC2
)
ou encore que
BD6 - AD6 = (BD2 - AD2)
(
(BD2 - AD 2)2 + 3.BD2.AD2
)
De plus les triangles ABC et ABD étant rectangles, on a: BC2 - AC2 = AB2 = BD2 - AD2
Or, AB = 3.
La somme S = BC6 + BD6 -AC6 - AD6
s'écrit alors:
S = 9
(
81 + 81 +3(BC2.AC2 + BD2AS2)
)
De plus,
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BC2AC2 + BD2AD2
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= |
(
AC2 + AB2
)
AC2 + (AD2 + AB2)AD2
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| |
|
|
| |
= |
(AC2 + AD2)2 - 2AC2AD2 + AB2(AC2 + AD2)
|
Comme on sait que AC2 + AD2 = CD2 = 2
et AB2 = 9 , on obtient:
S = 9(81 + 81 + 66 - 6AC2AD2)
Le minimum de S est donc atteint si et seulement si :
AC2AD2 est maximum.
Donc, comme AC2 + AD2 = 2,
si et seulement si AC = AD = 1.
Conclusion :
Le minimum de
S = BC6 + BD6 - AC6 -AD6
est atteint si et seulement si AC = AD = 1.
Et dans ce cas, il est égal à :
9(81 + 81 +66 -2x22) = 1998
|