Appelons a l'angle défini par les demi-droites [O ; A ( et [ O ; B(.
L'aire du triangle OAB est alors égal à :
Cette aire aire est donc minimale si et seulement si le produit OA.OB est minimale.  

Soient D et D' les parallèles respectivement à D1 et D2 passant par M.
Soient Q le point d'intersection de D et D1 , P le point d'intersection de D' et D2.

D'après le théorème de Thalès,, on peut écrire que:   

D'où, comme M est sur le segment [A;B],
Or, si a et b sont deux réels >0, tels que (a+b)=constante, alors leur leur produit a.b est maximum
si et seulement si a = b.
Comme MP et MQ sont constants, OA.OB est minimum si et seulement  si   est maximum donc si et seulement si    

Comme OPMQ est un parallèlogramme, les points A et B sont donc
les symétriques de O par rapport à P et Q.