CONCOURS GENERAL 1996
Exercice 1:
Dans le plan, on considère un triangle ABC et les six points D, E, F, G , H et I tels que
ABED , BCGF et ACHI soient des carrés extérieurs à ABC.
 Montrez que les points D, E, F, G , H , I sont cocycliques si et seulement si on est dans un des deux cas suivants:
- le triangle ABC est équilatéral;
- le triangle ABC est rectangle et isocèle.

Exercice 2:
Soient a un entier naturel impair et b un entier strictement positif.
On considère la suite réelle (Un ) ainsi définie:
U0 = b et pour tout entier naturel n :  
si Un est un entier pair, alors , sinon Un+1 = a + Un.

a: Démontrez qu'on peut trouver un entier naturel n tel que Un < a.
b: Démontrez que la suite est périodique à partir d'un certain rang.

Exercice 3:
a: Soit un parallélépipède rectangle. Montrez qu'on peut choisir quatre de ses sommets de façons à obtenir un tétraèdre dont les quartre faces sont des triangles rectangles.

b: Réciproquement, montrez que tout tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles rectangles peut s'obtenir en choisissant quatre sommets d'un parallélépipède rectangle.

c: Recherchez parmi ces ttraèdres ceux qui ont aussi au moins deux faces isocèles.
   Donnez les longueurs de leurs arêtes en fonction de la longueur de la plus petite arête.

Exercice 4:
a: Soit la fonction f définie, pour tout réel x strictement positif, par : f(x) = x x .
    Déterminez la valeur minimale prise par cette fonction lorsque x décrit l'ensemble
    des réels strictement positifs.
b: Soient x et y deux réels strictement positifs. Montrez que x y + y x > 1.

Exercice 5:
Soit n un entier naturel non nul. On dit qu'un entier naturel non nul k vérifie la condition Cn s'il existe  2 k entiers naturels non nuls a1 , b1 ,....., ak , bk tous distincts, tels que les sommes
                                         (a1 + b1) , ................, (ak + bk)
soient deux à deux distincts et strictement inférieurs à n .
a: Montrez que si k vérifie la condition Cn, alors [Maple Math] .
b: Montrez que 5 vérifie la condition C14.
c: On suppose [Maple Math] entier. Montrez que [Maple Math] vérifie la condition Cn