Problème
Ce problème traite des triangles dit cartésiens, c'est à dire à côtés entiers  
                                            BC = a , CA = b et AB = c ,
dont l'angle en A mesure .   Sauf avis contraires, ABC est supposé cartésien.
1: Notant H son orthocentre orthogonalement projeté en ( U , V , W ) sur les trois côtés,
    déterminez les nombres rationnels parmi
        AU , BV , CW , HA , HB , HC , HU , HV , HW , AW , AV , BU , BW , CV et CU.

2: Notant I son centre du cercle inscrit, J l'intersection de la bissectrice intérieure en A et des
    bissectrices extérieures en les autres sommets, et P , Q les intersections de la droite BC et
    des deux bissectrices en A , déterminez les nombres rationnels parmi
                             PC , PB , QB , QC , AI , AJ , AP et AQ .

3: On suppose désormais b et c premiers entre eux.
    Montrez que, quitte à échanger b et c , a + b - c est multiple de 3 et a - b + c ne l'est pas.

4: On pose où p et q sont des entiers premiers entre eux strictement postifs.
    On note d le pgcd de p (3 p + 2 q ) et de q (2 p + q ).
    Calculez a,b , c en fonction de p, q et d .

5: Montrez que q n'est pas multiple de 3, puis que d = 1 .

6: Déduisez-en une condition nécessire et suffisante pour qu'un triangle soit cartésien de
    côtés premiers entre eux, puis, par des remarques géométriques, une caractérisation
    analogue des triangles à côtés entiers BC = a, CA = b et AB = c premiers entre eux don't
     l'angle en A mesure radians

Exercice 1:
On dispose de b boules blanches et n boules noires, au moins de chaque, que l'on répartit entre deux urnes de façon qu'aucune d'elles ne soit vide.
On note s le nombre de boules dans la première, et r celui de ces boules qui sont blanches. L'événement considéré est le tirage d'une boule au hasard dans l'une des urnes choisie au hasard. Le but de l'exercice est de déterminer les répartitions rendant maximale la probabilité p de tirer un boule blanche.

1: Exprimez p en fonction de b , n , r et s .
2: Dans cette question, on fixe la valeur de s . Comment choisir r pour augmenter p ?
3: Résolvez l'exercice.
4: Quelles généralisations proposez-vous en augmentant les nombres de couleurs et d'urnes?

Exercice 2:
Soient A , B, C trois points deux à deux distincts de l'espace, ( A ) une sphère de centre A et de rayon r , et E l'ensemble des nombres R > 0 tels qu'il existe une sphère ( H ) de centre H et de rayon R par rapport à laquelle les points B et C sont strictement extérieurs
(c.a.d tels que HB > R ), et les points de ( A ) strictement intérieurs.

1: Dans cette question, B et C sont alignés avec A et strictement extérieurs à ( A ).
    Montrez que E est non vide et majoré.
    Calculez le plus petit de ses majorants en fonction des données.

2: Déterminez une condition nécessaire et suffisante pour E soit non vide et majoré.

3: Calculez, lorsqu'il existe, le plus petit des majorants de E .