Concours Général 1983

On a 3² + 4² = 5² et 3³ + 4³ + 5³ = 6³ .
On cherche un réel a vérifiant : 3^a + 4^a + 5^a + 6^a+ .... + 98^a+ 99^a= 100^a
A chaque entier k tel que 1< k < 97 , on associe l'application f_k de R+ dans R+ définie par :
                                                            .
1° Etablir, pour x positif, f_k(x) < [f₁(x)]^k .
2° Prouver l'existence de a   et son unicité .
3° Trouver la partie entière de a .  (On s'appuiera sur 1° pour majorer a  ,et sur des essais à la calcularice pour le minorer).
Une bijection f d'un ensemble fini E dans lui-même sera dite carré s'il existe une application g de E dans E telle que gog=f.
L'orbite d'un élément a de E pour f est, par définition, l'ensemble {a,f(a),f ²(a), .....} formé par a et les images successives de a.
1° Etude d'un exemple: E est la partie de N formée des entiers n tels que 1< n < 16 . f est définie par le tableau :

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
f	2	4	5	8	9	10	11	13	15	12	14	16	1	7	3	6

Déterminer les oribites et, en supposant qu'il existe g de carré f, étudier l'action de g sur ces orbites.
Montrer que f est un carré.

2°Sachant seulement que E est fini et f bijective, prouver de manière générale que, pour chaque élément de E, la suite des images par f est périodique, et que les orbites constituent une partition de E.
Une fois déterminés les nombres d'éléments des orbites de f, à quoi reconnait-on que f est un carré?

3° m et p désignent deux entiers naturels dans nuls
On donne E = {1 , 2, ... , m }x{1 , 2 , ... , p}, et la bijection f de E définie par :
f(i , j) = (i+1 , p + 1- j) si i # m sinon f(m , j) = (1 , p +1-j)
f est-elle un carré? Discuter suivant m et p

Expérience: Un plan euclidien est rapporté au répère orthonormé .
Placer les points P , P ' , P " , d'abscisse nulle, dont les ordonnées sont -1 , ,
Tracer le cercle dont une équation dont une équation est x² + y² - 2x = 0.
Vérifier qu'il existe sur ce cercle trois points M , M ' , M " tels que chacune des six distances MP ', MP " , M 'P ", M 'P, M " P, M " P ' soit égale à . On donnera les coordonnées de ces points.

Définition d'une chaîne.
Dans le plan on considère un cercle (C), de centre A, de rayon R, et une droite (D) ne contenant pas A. Soit h la distance de A à (D), et soit c un réel positif. On nomme chaîne de côté c, reliant (C) à (D), toute confirguration formée de trois points distincts M₁ , M₂ , M₃ de (C) et de trois points distincts P₁ , P₂ , P₃ de (D) dans la quelle les six distances M_iP_j (i#j) ont la valeur c.
On note systématiquement, dans ce qui suit, i , j, k une permutation arbitraire de 1 , 2 , 3.
L'objet de cette partie est de conduire à la condition nécessaire entre c, R et h pour l'existence d'une chaîne :
(1) |c² - R²| = 2Rh .

1°Réaliser la figure d'une chaîne ,en conformité avec (1).
A toute chaîne seront associés les trois points M₁', M₂', M₃' définis par les égalités :

Construire ces points sur le dessin.

2° En s'aidant d'un repère et n'écrivant que des relations du premier degré entre les coodonnées des points concernés, montrer que, pour tout i = 1 , 2 , 3 , M_i et M_i ' se correspondent dans une même symétrie axiale orthogonale, d'axe (D).
Démontrer, d'autre part, que A appartient au cercle M₁' M₂' M₃' .
Qu'en résulte-t-il pour l'axe de la sylétrie ?

3° Etablir : . Démontrer la relation (1) .
L'aspect suffisant de cette condition pour la construction des chaînes est précisé au IV, 3°.
Défintion d'un chaîne: (2)
Dans le plan on considère deux cercles (C) et (C '), de centre distincts A et A ' , de rayon R et R '. Soit d la distance AA', et c un réel positif. On nomme chaîne de côté c, reliant (C) et (C '), toute configuration formée de trois points distincts M₁ , M₂ , M₃ de (C) et de trois points distincts M₁ ' , M₂ ', M₃' de (C '), dans laquelle les six distances M_iM_j ' (i#j) ont la valeur c .
1° Etude du cas c = R = R ' , d # R .
Pour cette valeur du côté, quelle est la nature des quadrilétères AM₁M_j'M_k et A'M_i'MjM_k' ? Par quelle tranformation simple passe-t-on de M_i à M_i ' ?
Etablir l'égalité :
Situer le centre de gravité et l'orthocentre de chacun des triangles M₁M₂M₃ et M₁' M₂' M₃' .
Pour fabriquer une chaîne on choisit M₁ sur(C), à une distance de A ' inférieure à 2R .
Quelles valeurs de le permettent ? Obtient-on bien une chaîne ?

2° Etude du cas d = R = R ' , c # R.
Cette étude se prolongera au 3° .
Tracer les cercles (C) , (C ') centrés l'un sur l'autre, et réaliser une chaîne en se donnant le côté c, puis l'un des sommets.
Quelles valeurs de le permettent ?
Par quelle transformation simple passe-t-on de M_i à M_i ' ?
On pourra enfin comparer M_i et M_i ', introduire les deux symétries vectorielles orthogonales s et s' , définies par les conditions:

et chercher les images de par s'os et sos' .

3° Même hypothèse pour c, d , R , R ' qu'au 2°.    c pourra varier.
Le plan est orienté et rapporté au repère orthonormé direct , .
Sur (C) chaque point Mi est repéré par une mesure q_i de .
a) Caratériser sur (C) les triplets appartenant à une chaîne, indépendamment de la valur du côté, par une condiiton liant q₁ ,q₂ , q₃ .
Etablir une sconde condition correspondant à la valeur du c côté. En déduire que l'abscisse du centre de gravité du triangle M₁M₂M₃ ne dé pend que de c et exprimer cette abscisse.
b) A une chaîne reliant (C) et (C '), on associe les points P_i définis par les égalités

Démontrer que P1 , P2 , P3 appartiennent à une droite perpendiculaire à (AA ') et dont on calculera l'abscisse en fonction de c.
Faire le lien avec la partie III et compléter l'étude de la situation définie par la condition (1).

4° Les cercles (C) et (C ') , lorsque R' # R, n'admettent entre eux de chaîne de côté c que si c, d , R , R ' satisfont à la condition - dont on ne demande pas la démonstration- :
(2)
a) Réaliser la figure d'une chaîne en conformité avec (2) .
b) Etablir que dans une chaîne on a les égalités (modulo 2p ):

Le choix de 0 ou p ne dépend pas de i.
Par une construction ou un calcul, placer M _i ' connaissant M₁.
c) La relation (1) de la partie III se déduit-elle de (2) ?