Correction Exercice 2 Concours Général 1999

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Pour n = 2 et n = 3 l’égalité est vérifiée, mais pas pour n = 1.
On remarque que pour n = 4 et n = 5 , on a: (n+3)ⁿ > 3ⁿ + 4ⁿ .. + (n+2)ⁿ.

Hypothèse de récurrence P(p) : 3^p + … + (p+2)^p < (p+3)^p, où p > 5.
Démontrons alors que cette propriété reste vraie au rang p+1 c-a-d que :
P(p+1) : 3^p+1+ 4^p+1+...+ (p+3)^p+1 < (p+4)^p+1.

Supposons que pour un certain entier p>5 : 3^p+…+(p+2)^p < (p+3)^p
On a en ajoutant (p+3)^p à chaque membre:
3^p + 4^p + 5^p+...+ (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p
Ecrivons alors la suite de (p+3) inégalités suivantes:

3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 ( p+3)^p
3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p
3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p
....... 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p
............... 5^p+...+(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p
............................(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p
...........................................(p+3)^p <2 (p +3)^p

En ajoutant toutes ces inégalités (il y a (p+3) lignes et chaque terme k^p est présent exactement k fois!)
on obtient : 3^p+1 + 4^p+1 +…+ (p+3)^p+1 < 2 (p+3)^p+1 .

Y a plus qu’à montrer que 2 (p+3)^p+1 < (p+4)p^p+1 pour p>4, ce qui est équivalent à
2< [(p+4)/(p+3)]^p+1 (car (p+3)^p+1 >0 )

OR!
La fonction est dérivable sur [5 ; +oo[
On s’intéresse seulement à cet intervalle car p entier > 5 .).

après simplification.
Donc f "(x) < 0 pour x > 5 et f ‘(x) est décroissante sur [5 ; +oo[.
Sa limite en +oo est = 0⁺. Donc f ‘(x) >0.
Donc f est alors croissante sur [5; +oo[ et 5 est le minmum de f sur [5, +oo[.
Or ; ln(2) < f(5) (faire un calcul machine!) donc ln(2) < f(x) pour tout x > 5 .
D'où sur [5 ; +oo[ , ln(2) < (x+1) ln[ (x+4)/(x+3)]
Donc 2 < [ (x+4)/(x+3)]^(x+1) d'où 2 (x+3)^(x+1) < (x+4)^(x+1).

Conclusion:
Pour tout p > 5 , si la propriété P(p) est héréditaire.
P(5) est vraie, donc elle est vraie pour tout p > 5 .

CONCLUSION FINALE:
Les seuls entiers n vérifiant sont 2 et 3 .