- Les angles (EBA) , (BDM) et (ABM) sont égaux.
- Donc la droite (AB) est bissectrice de (EBM) et de (EAM).
- Donc, si s est la symétrie orthogonale par rapport à
la droite (AB), l'image par s de la droite (AE) est la droite (AM).
De même , l'image par s de la droite (BE) est la droite (BM).
On en déduit que l'image par s de E est M.
D'où, les
droites (AB) et (EM) sont orthogonales.
- Comme (CD) et (AB) sont parallèles, on a aussi (CD) et (EM)
orthogonales.
Or, M , P et Q sont sur (CD).
Donc, EP = EQ
si et seulement si MP = MQ.
- Soit, maintenant, H le point d'intersection des droites (AB) et
(MN).
La puissance de H par rapport au cercle (G1) est HM.HN.
Comme
le point H est sur la tangente en A à (G1), on a : AH ²
= HM.HN
De même , BH ² = HM.HN
On en déduit
alors que AH = BH
Comme (AB) et (PQ) sont parallèles, on en
déduit que les rapports AH / BH et PM / QM sont égaux.
Donc,
que PM = QM , d'où EP = EQ.
