Retour à l'exercice:   Correction Exercice 2 OLYMPIADES IMO 2000

A , B et C sont non nuls car ABC = 1.
De plus, un au moins de ces réels est < 1 et un au moins de ces réels est > 1 car sinon on ne peut avoir ABC=1.
On peut donc supposer que A < C < B avec A < 1 et  B > 1.

Remarquons aussi que :
= donc
Or donc

De même , on a : et

D'où , en effectuant les produits:
= 1

Si , et sont > 0 , on a alors la conclusion en passant aux racines carrées.

Si un des , ou est < 0 , alors c'est forcément que l'on a:
 < 0  et  alors > 0 et > 0 .
Dans ce cas , le produit le produit ()()() est < 0 et donc < 1.

Dans tous les cas , on a bien : ()()() < 1 si ABC = 1 avec A , B et C > 0.