Olympiades 2000

Deux cercles G₁ et G₂ se coupent en M et N.
Soit L la tangente commune aux deux cercles telle que M soit plus proche de L que N.
La droite L est tangente à G₁ en A et à G₂ en B.
La droite passant par M et parallèle à L rencontre le cercle G₁ en C et le cercle G₂ en D.
Les droites CA et DB se coupent en E.
Les droites AN et CD se coupent en P.
Les droites BN et CD se coupent en Q.

Montrez que EP = EQ

Exercice 2 :  Voir la Correction

Soient a , b , c trois nombres réels strictement positifs tels que abc = 1.

Montrez que

Exercice 3 :

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On place n puces sur une droite horizontale, pas toutes au même point.
Pour un nombre réel strictement positif l , définit un mouvement de la façon suivante:

• on choisit deux puces situées aux points A et B, avec A à gauche de B;
• alors la puce en A saute au point C, situé sur la même droite, à droite de B et tel que = l.

Trouvez toutes les valeurs de l telles que, pour tout point M sur la droite et toutes positions initiales des n puces il existe une suite finie de mouvements qui amène toutes les puces à droites de M.

Un magicien a 100 cartes numérotées de 1 à 100.
Il des répartit dans trois boîtes, une rouge, une blanche et une bleue, de telle sorte que chaque boîte contienne au moins une carte.
Un spectateur chosit deux de ces trois boîtes, tire une carte dans chacune d'elles et annonce la somme des nombres figurant sur les cartes tirées.

Connaissant cette somme, le magicien identifie la boîte san laquelle aucune carte n'a été tirée.

De combien de façons le magicien peut-il répartir les cartes dans les boîtes de telle sorte que ce tour de magie réussisse toujours?

DEUX FACONS DE REPARTIR LES CARTES SONT CONSIDEREES COMME DIFFERENTES SI AU MOINS UNE CARTE EST PLACEE DANS DEUX BOITES DIFFERENTES.

Existe-t-il un entier strictement positif n tel que n soit divisible par exactement 2000 nombres premiers distincts et 2ⁿ + 1 soit divisible par n?

Soient AH₁ , BH₂ et CH₃ les hauteurs d'un triangle ABC dont les angles sont aigus.
Le cercle inscrit dans le triangle ABC est tangent respectivement aux côtés BC, CA et AB en T₁, T₂ et T₃.
On désigne respectivement par L₁, L₂ et L₃ les symétriques des droites H₂H₃ , H₃H₁ et H₁H₂ par rapport aux droites T₂T₃ , T₃T₁ et T₁T₃.

Montrez que L₁, L₂ , L₃ déterminent un triangle dont les sommets appartiennent au cercle inscrit dans le triangle ABC.