Correction Exercice 1 Olympiades IMO 2001
Posons :
R est le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC.
K
est le symétrique de A par rapport à la médiatrice
du segment [B,C].
Q est le symétrique de
P par rapport à la médiatrice du segment [B,C].
AKQP
est donc un rectangle et on obtient la figure suivante:
On a alors : OA = OB = OC = OK = R et
QP = KA .
On remarque aussi que :
Comme
OA = OK = R , l'inégalité précédente
montre alors que KA est > R, ainsi que QP.
Or, d'après l'inégalité triangulaire,
on a:
OP
+ R = OQ + OC > QC = QP + PC > R + PC
De là,
il s'ensuit que OP > PC et donc que:
on obtient bien :
