Correction Exercice 4 Olympiades IMO 2001
n est un entier impair > 1. On notera P(n)
l'ensemble des permutations de l'ensemble {1, 2 , ..., n
}.
Supposons que pour toutes
permutations b et c de l'ensemble {1 , 2 , ... , n
} ,
on a S(b) - S(c) non divisible par n!.
Ceci signifie que pour tout entier m appartenant à
{1 , 2 , .... , n! } , il existe une et une seule permutation
a telle que S(a) = m modulo n!.
Dans
ce cas, la somme des S(a) , a parcourant l'ensemble
des permutations de {1 , 2 , .... , n }, est égale
à la somme des entiers de 0 à n! , modulo n!
.
On a donc :
et
donc :
Donc la somme des S(a) n'est pas divisible par n! .
Mais, on peut calculer cette somme, modulo n! , en remarquant
que :
Cette dernière égalité permet alors de voir
que :
Il
y a donc contradiction entre les égalités 1: et 2:.
Il
existe donc deux permutations b et c (distinctes)
de {1 , 2 , ... , n } telles que S(b) - S(c)
soit divisible par n!.
