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Correction Exercice 6 Olympiades IMO 2001

Soit a , b  , c ,  d des entiers tels que a > b > c > d > 0.
On suppose que ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c)
Montrer que ab + cd n'est pas un nombre premier.

Faisons l'hypothèse que (ab + cd) est un nombre premier.
Remarquons alors que : (ab + cd) = (a+d)c + (b-c)a.  (égalité 1:)

On connait le Théorème de Bachet-Bezout et on sait que pour deux entiers A et B , il existe deux entiers u  et v tels que : PGCD(A , B) = uA + vB.
De plus, pour tout U et V entiers, (UA + VB) est un multiple de PGCD(A ,B).

L'égalité 1: permet alors de dire qu'il existe un entier m tel que :
                              (ab + cd) = m.PGCD(a+d , b-c)    (égalité 2:)

La question est donc résolue si on peut démontrer, dans l'égalité 2: que m et PGCD(a+d , b-c) sont tous les deux strictement supérieurs à 1.
Remarquons que ces deux entiers ne peuvent pas être nuls et qu'ils sont positifs.

Distinguons alors 2 cas:

• Cas 1: On a m = 1.
  Dans ce cas, l'égalité 2: s'écrit : PGCD(a+d , b-c) = ab + cd.
  Comme a > b > c > d > 0 , on a alors:
  PGCD(a+d , b-c) > ab + cd - (a - b + c + d)
  PGCD(a+d , b-c) > (a+d)(c-1) + (b-c)(a+1)
  Or, (a+d)(c-1) + (b-c)(a+1) est un multiple de PGCD(a+d , b-c) et est > 0.
  Il y a donc une contradiction.
  On ne peut pas avoir m = 1.
   
• Cas 2: On a PGCD(a+d , b-c) = 1.
  Dans ce cas, comme (ac + bd) = (a+d)b - (b-c)a , et que pour hypothèse, on a:
   ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c), on peut écrire que :
  (a+d)(a-c-d) = (b-c)(b+c+d)   (égalité 3:)
  Comme On a PGCD(a+d , b-c) = 1 , on peut dire que (a+d) et (b-c) sont premiers entre eux et donc, d'après l'égalité 3:, qu'il  existe un entier k positif tel que
  (a-c-d) = k(b-c)   et  (b+c+d) = k(a+d)
  En faisant la somme de ces deux égalités, on obtient alors:
  (a+b) = k(a+b-c+d)  ce qui peut aussi s'écrire  k(c-d) = (k-1)(a+b).
  Or, on a: a > b > c > d > 0.
  Si k = 1 , alors c = d .  Ce qui est impossible.
  Si k > 1 , alors on a:
                                            
  Le premier terme de cette égalité est inférieur à 2.
  Le second terme de cette égalité est strictement supérieur à 2.
  Il y a donc une contradiction.
  On ne peut donc pas avoir PGCD(a+d , b-c) = 1.

Conclusion:
On a  (ab + cd) = m.PGCD(a+d , b-c)  avec m et PGCD(a+d , b-c) entiers > 1.
L'entier (ab + cd) n'est donc pas un nombre premier.