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Olympiades 2001

Exercice 1 Voir la Correction
Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et dont O est le centre du cercle circonscrit.
Soit P le pied de la hauteur abaissée de A sur BC.
On suppose que angle(BCA) > angle(ABC) + 30° .
Montrer que angle(CAB) + angle(COP) < 90°.

Exercice 2 Voir la Correction
Montrer que pour tous réels strictement positifs a , b et c, on a :
                            

Exercice 3
Vingt-et-une filles et vingt-et-un garçons ont participé à une compétition mathématique

• chaque participant a résolu au plus six problèmes ;
• pour chaque fille et chaque garçon, un même problème, au moins, a été résolu par chacun d'eux.

Exercice 4 Voir la Correction
Soit n un entier impair strictement supérieur à 1 et k₁ , k₂ , ... , k_n des entiers donnés.
Pour chacune des n! permutations a =(a₁, a₂ ,... , a_n) de l'ensemble {1 , 2 , ... , n }, on pose
                                                    

Montrer qu'il existe deux permutations b et c distinctes, telles que n! divise S(b) - S(c).

Exercice 5
Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle BAC rencontre BC en P et la bissectrice de l'angle ABC rencontre CA en Q.
On sait que l'angle BAC a pour valeur 60° et que  AB + BP = AQ + QB.
Quelles sont les valeurs possibles des angles du triangle ABC ?

Exercice 6 Voir la Correction
Soit a , b  , c ,  d des entiers tels que a > b > c > d > 0.
On suppose que ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c)

Montrer que ab + cd n'est pas un nombre premier.