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Olympiades 2002

Exercice 1
S est l'ensemble des couples (h ,  k) où h et k sont entiers naturels avec h + k < n .
Chaque élément de S est colorié en rouge ou en bleu .
De plus,  si (h , k ) est rouge et si h' < h , k' < k   avec h , h' , k et k' entiers naturels, alors (h' , k' )  est rouge aussi.
Un sous-ensemble de S est dit de type "1" s'il contient n éléments différents bleus ayant des abscisses h distinctes.
Un sous-ensemble de S est dit de type "2" s'il contient n éléments différents bleus ayant des ordonnées k distinctes.
Montrez que le nombre de sous-ensemble de S de type "1" est égal au nombre de sous-ensemble de S de type "2".

Exercice 2
Soit BC un diamètre du cercle (C) de centre O. Soit A un point de (C) tel que0° < angle(AOB) < 120°.
Soit D le milieu de l'arc (AB) ne contenant pas le point C.
La droite passant par O parallèle à la droite DA rencontre la droite AC en J.
La médiatrice du segment OA rencontre (C) en E et F.
Montrez que J est le centre du cercle inscrit au triangle CEF.

Exercice 3
Déterminez tous les couples d'entiers (n , m) avec n et m > 2 tels qu'il existe une infinité d'entiers k tels que
(k^m + k - 1) soit divisible par (kⁿ + k² -1).

Exercice 4
Soit n soit un entier > 1. On note d₁ , d₂ , ..... , d_k les diviseurs positifs de n rangés par ordre strictement croissant.
Ainsi : 1 = d₁ < d₂ < d₃ < ..... < d_k = n .
On pose d = d₁d₂ + d₂d₃ + .... + d_k-1d_k .

Montrez que d < n²   et déterminer tous les entiers n tels d soit un diviseur de n².

Exercice 5
Déterminez toutes les applications f de R vers R où R désigne l'ensemble des nombres réels telles que
pour tous quadruplets (x , y , u , v) de réels,    [f(x) + f(y)) (f(u) + f(v)] = f(xu - yv) + f(xv + yu)

Exercice 6
Dans le plan, on considère n cercles (C₁) , (C₂) , ... (C_n) de rayon 1 et de centre respectif O₁ , O₂ , ... , O_n.
On suppose toute droite du plan rencontre au plus 2 de ces cercles.
Montrez alors que :