Olympiades 2003
Exercice 1:
S est l'ensemble des entiers compris
entre 1 et 1000000. S = {1 , 2 , .. , 1000000}.
Montrer que pour
tout sous-ensemble A de S contenant 101 éléments,
on peut trouver 100 éléments distincts xi de
S tels que les ensembles { xi + A} soient deux à
deux disjoints.
({ xi + A} est l'ensemble des éléments
de la forme xi + a où a parcourt
A).
Exercice 2:
Déterminer tous les couples
d'entiers strictement positifs (n , m) tels que 
soit un entier positif
Exercice 3:
On se donne un hexagone convexe dans lesquel deux côtés opposés quelconques
ont la propriété suivante :
la distance entre leurs milieux est 
fois la somme de leurs
longueurs.
Montrer que tous les angles de cet hexagone sont égaux.
Exercice 4:
ABCD sont 4 points cocycliques placés
dans cet ordre sur leur cercle circonscrit.
P, Q et R sont les
pieds issus de D respectivement sur les côtés AB ,
BC et CA.
Montrer que RP = RQ si et seulement si les bissectrices
de (ABC) et (CDA) ont leur point d'intersection sur (AC).
Exercice 5:
n un entier strictement positif.
On
considère n réels x1 <
x2 < ......< xn
.
a) Montrer que 
b) Montrer qu'il y a égalité si et seulement si (x1
, x2 , .... , xn) est une suite
arithmétique.
Exercice 6:
Soit p un nombre premier.
Montrer qu'il existe un nombre premier q
tel que pour tout entier n, le nombre n p - p n'est pas divisble par q.