Olympiades 2004
Exercice 1:
Soit ABC un triangle acutangle (AB 
AC) et O milieu de BC.
Le cercle de diamètre BC coupe (AB) en M et (AC) en N.
On appelle
R l'intersection des bissectrices intérieures de 
et
.
Montrer que les cercles circonscrits aux triangles BMR et
CNR ont un point comun qui appartient à sur [BC].
Exercice 2:
Déterminer tous les polynômes f à coefficients réels
f tels que f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c),
avec ab+bc+ca=0 pour tous
a,
b, c réels
Exercice 3:
On considère 6 carrés-unités assemblés en forme de 
Déterminer tous les entiers m et n pour lesquels le rectangle mxn peut être entièrement
recouverts par des crochets, sans chevauchement ni débordement.
Exercice 4:
Soit n > 2 un entier, t1, t2 , ..., tn des réels
> 0 tels que :
Prouver que pour tous i < j < k, les nombres ti , t j
,
tk peuvent être les mesures des côtés d'un triangle.
Exercice 5:
Dans le quadrilatère convexe ABCD, la diagonale BD n'est bissectrice
ni de 
ni de 
.
Soit P un point intérieur au quadrilatère tel que 
Montrer que A, B, C, D cocycliques si et seulement si AP = CP.
Exercice 6:
Un entier > 0 est dit alterné si deux chiffres consécutifs
quelconques en écriture décimale sont de parités différentes.
Trouver tous les entiers > 0 qui possèdent un multiple alterné.