Retour vers l'Exercice -Correction Exercice 4 Olympiades Internationales IMO 2005 

Rappel du Petit Théorème de Fermat:
Si p est premier alors pour tout entier a non divisible par p,  a ^p-1 1 [ p]

Soit p un nombre premier > 3.
Alors pour tout n entier naturel, on a : 2 ^p-1 1 [ p]   ,   3 ^p-1 1 [ p]    et    6 ^p-1 1 [ p]

Donc 6*2 ^p-2 3 [ p]  et  6*3 ^p-2 2 [ p]

Donc:   6(2 ^p-2 +  3 ^p-2    + 6 ^p-2   - 1) 3 + 2 + 6 ^p-1   - 6 [ p ]

D'où : 6(2 ^p-2 +  3 ^p-2    + 6 ^p-2   - 1) 3 + 2 + 1   - 6 [ p ]

D'où : 6(2 ^p-2 +  3 ^p-2    + 6 ^p-2   - 1) 0 [ p ]

Donc , pour tout p premier > 3,  (2 ^p-2 +  3 ^p-2    + 6 ^p-2   - 1) est divisible par p ( car 6 est premier avec p ......)

Donc, il n'existe aucun nombre premier > 3 qui soit premier avec un terme quelconque de la suite (a_n)

De plus, on a: a₀ = 2 , a₁ = 10 et a₂ = 48.   Donc 2 et 3 ne sont pas premiers avec a₂.

Conclusion:
Il n'existe aucun nombre premier qui soit premier avec un terme quelconque de la suite (a_n).
Donc, pour tout N > 1 entier, N ne peut pas être premier avec un terme quelconque de la suite (a_n).
Donc, le seul entier premier avec tous les termes de cette suite est N = 1.