Olympiades 2005
Exercice 1
Six points sont choisis sur les côtés d'un triangle équilatéral ABC:A1, A2 sur BC , B1, B2 sur CA , C1, C2 sur AB,
de telle sorte que ces six points soient les sommets d'un hexagone convexe A1A2B1B2C1C2 dont les côtés sont égaux
Montrer que les droites (A1B2 ), (B1C2) et (C1A2) sont concourantes.
Exercice 2
On considère une suite a1
a2 a3 ... d'entiers relatifs
contenant une infinité de termes positifs et une infinité
de termes négatifs.
On suppose que pour tout entier naturel
n, les restes de a1 , a2
, ... , an dans la division euclidienne par n
sont distincts deux à deux.
Montrer que tout entier apparaît exactement une fois dans la suite (ak).
Exercice 3
Soit x , y , z trois réels
positifs tels que xyz > 1. Montrer que 
Voir
une correction
Exercice 4
Déterminer l'ensemble des entiers naturels p tels que p soit premier avec tous les termes de la suite an = 2n + 3n + 6n - 1.
Exercice 5
ABCD est un quadrilétère convexe fixé tel
que BC = DA et (BC) non parallèle à (DA).
E et
F sont deux points variables situés respectivement sur les
côtés [BC] et [DA] tels que BE = DF.
Les droites (AC) et (BD) se
coupent en P , les droites (BD) et (EF) se coupent en Q, les droites
(EF) et (AC) se coupent en R.
Montrer que tous les cercles circonscrits à PQR, quand E et F varient, ont un point commun autre que le point P.
Exercice 6
Dans une compétition mathématique dans laquelle
6 problèmes ont été posés aux participants,
deux problèmes quelconques
ont été résolus
par plus des 2/5 concurrents.
De plus, aucun concurrent
n'a résolu l'ensemble des 6 problèmes.
Montrez qu'il y a au moins 2 concurrents qui ont résolu exactement 5 problèmes chacun.