Exercice 1:
Déterminez toutes les fonctions f de l'ensemble des réels strictements positifs dans lui-même, qui vérifient les conditions suivantes:
1) pour tous réels stritement positifs x , y : f(xf(y)) = yf(x);
2) f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers + oo .
Exercice 2:
Dans le plan, on se donne deux cercles
C1
et
C2 de centres respectifs O1 et O2
Soit A un de leurs points commun.
Lespoints de contact des tangentes aux deux cercles sont P1, sur C1
et P2, sur C2, pour une des tangentes, et Q1, sur C1, et Q2, sur C2,
pour l'autre tangente.
On noté M1 et M2 les milieux respectifs des segments [P1Q1] et [P2Q2].
Montrez que les angles O1AO2 et M1AM2 sont égaux
Exercice 3:
a , b , c
sont trois entiers strictement positif et premiers entre eux deux à deux.
Montrez que : 2abc - ab - bc - ca est le plus grand entier qui ne peut pas s'écrire sous la forme:
xbc + yca + zab
où x , y , z sont des entiers positifs ou nul.
Exercice 4:
Soit ABC un triangle équilatéral. Soit K l'ensemble des points des segments fermés [AB] , [BC] , et [CA].
Peut-on trouver pour toute partition de E en deux sous -ensembles, trois points appartenant au même sous-ensemble et formant un triangle rectangle?
a , b , et c sont les longueurs des trois côtés d'un triangle.
Montrez que
0 
a2b(a - b ) + b2c( b - c ) + c2a( c - a )
.