Correction Olympiades IMO 1983 Exercice 2
Observez la figure suivante:

O est le point de concours des tangentes communes aux deux cercles.
C'est aussi le centre de l'homothétie h telle que: h(C₁) = C₂

B est l'autre point d'intersection des deux cercles.

T est le point d'intersection des droites ( AB ) et ( P₁P₂)) .

C l'autre point d'intersection de (OA) avec C₂ .

On démontre alors les relations suivantes: TP₂ = TA.TB = TP₂²

On vérifie alors que la droite (AB) est la médiatrice de [M₁,M₂] .

Les angles et sont égaux, par l'homothétie h, donc égaux aux angles et .

De là, on peut voir que les points C , M₁ et B sont alignés.

Tout revient donc à montrer que les angles et sont égaux.

Mais,

= angle ( ) par l'homothétie h

angle( ) = angle( ) car le triangle est isocèle

angle( ) = angle ( ) à cause de la symétrie par rapport à la droite passant par le centre des cercles.

D'où le résultat.