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                               Correction Olympiades IMO 1983 Exercice 3
Pour faire cet exercice, on démontre tout d'abord que ab , bc , ca , sont premiers entre eux :
                                           ( ab , bc , ca ) = 1.

D'après le Théorème de Bezout-Bachet, on sait qu'il existe alors trois entiers relatifs u , v , w tels que                               uabc + vbc + wca = 1.

Donc tout entier naturel n s'écrit sous la forme n = xab + ybc + zca où x , y , z sont des entiers relatifs.

Soit alors n un entier naturel et x , y , z un triplet d'entiers relatifs vérifiant
                                   n = xab + ybc + zca (1).

Posons X entier compris entre 0 et (c-1) tel que x = X modulo c , Y entier compris entre 0 et (a-1) tel que y = Y modulo a .

On peut écire alors x = kc + X , et y = ha + Y

k et h étant donc les quotients des divisions respectives de x par c et de y par a .
En utilisant (1), on obtient alors:

n = ( kc +X )ab + ( ha + Y )bc + zca = Xab + Ybc + ( z + (k +h)b)ca

Donc tout entier n naturel se met sous la forme n = xab + ybc + zca , avec x entier compris entre 0 et (c-1) , y entier compris entre 0 et (a-1) et z entier relatif.

De là , on obtient l'inégalité suivante:  

n £ (c - 1)ab + (a - 1)bc + zca

ou encore                                   n £ abc - ac + abc - bc + zac

et finalement, en posant A = 2abc - ab - bc - ca

n £ A + (z + 1)ca

Maintenant , si n > A , alors 0 < n -A donc ( z + 1 ) >0 , et donc z est un entier positif.

Donc , tout entier n positif et > A se met sous n = xab + ybc + zca avec x , y , z entiers positifs et avec de plus x . entier compris entre 0 et (c-1) , y entier compris entre 0 et (a-1)

Pour répondre à la question , il suffit alors de vérifier que A ne peut pas se mettre sous la forme A = xab + ybc + zca avec x , y , z entiers positifs avec

x entier compris entre 0 et (c-1) , y entier compris entre 0 et (a-1)

Cette dernière égalité s'écrit , 2abc = ( x + 1 )ab + ( y + 1 )bc + ( z + 1 )ca.

Comme c divise ( y + 1 )bc + ( z + 1 )ca et que c est premier avec a et b , on en déduit que c divise ( x + 1 ) .

Comme x est compris entre 0 et ( c -1 ) on peut alors dire que x = c .

De même, on a y = a.

D'où l'égalité : 2abc = abc + abc + ( z + 1 ) ca = 2abc + ( z + 1)ca ce qui est absurde si z est un entier positif.

Conclusion:

Tout entier n > A est de la forme n = xab + ybc + zca avec x , y , z entiers positifs mais A ne l'est pas.

Donc A = 2abc - ab - bc - ca est bien le plus grand entier qui ne peut pas s'écrire sous cette forme.