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Correction
Olympiades IMO 1983 Exercice 4 Soit D le point du segment [BC] tel que BD = 2DC. Le projeté orthogonal de D sur le segment [AC] est un point E tel que CE = 2EA. De même le projeté orthogonal de E sur le segment [AB] est le point F tel que AF = 2FB et le projeté orthogonal de F sur [BC] est le point D. Soit (K1 , K2) une partition de K telle que pour tout triangle rectangle de sommets dans K, les trois sommets ne sont pas tous dans K1 ou tous dans K2. Parmi les points D , E et F, au moins deux points appartiennent au même sous-ensemble. Par exemple, choississons que E et F appartiennent à K1. D est donc dans K1. Soit M un point du segment [AC] différent de E. Le triangle MEF est alors rectangle en E. Par hypothèse sur la partition (K1,K2), comme E et F sont K1, on a M dans K2. En particulier, A et C sont dans K2. Prenons alors un point N dans [AB] U [BC] mais différent de A et de C. Si H est le projété orthogonal de N sur [AC], alors le triangle ANH est rectangle. Comme H est sur [AC], il se trouve dans K2, comme A, donc, par hypothèse, N est dans K1. Or, comme B et F sont [AB] U [BC] , on en déduit que B et F sont en particulier dans K1. Le rectangle FBD est rectangle (en F) et ces trois points sont dans dans K1. Ceci rentre en contradiction avec l'hypothèse faite sur la partition (K1 , K2). Donc il existe au moins un triangle rectangle dont les sommets sont tous trois dans K1 ou dans K2. |
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