Olympiades 1984

Exercice 1:
Soient x , y , z des réels positifs ou nuls vérifiant : x + y + z = 1 .

Montrez que xy + yz + zx - 2xyz est compris, au sens large, entre 0 et .

CORRECTION

Exercice 2:
Trouvez un couple ( a , b ) d'entiers strictement positifs vérifiant les conditions:

i) le produit ab(a+b) n'est pas divisible par 7;

ii) (a+b)⁷ - a⁷ - b⁷ est divisible par 7⁷.

Justifiez votre réponse.

CORRECTION

Exercice 3:
On fait une partition de l'ensemble des points du plan orienté en un nombre fini de parties représentées par autant de couleurs. On fixe deux points distincts O et A de ce plan. A tout point X du plan distinct de O, on fait correspondre :

- la mesure en radians a (X) de l'angle (OA , OX) prise entre [ 0 ; 2p [.

- le cercle C(X) de centre O dont le rayon a pour mesure .

Montrez qu'il existe un point Y du plan avec tel qu'il existe un point de C(Y) de la même courleur que Y

CORRECTION

Exercice 4:
ABCD est un qudrilatère convexe tel que la droite (CD) soit tangente au cercle de diamètre [AB].

Montrez que la droite (AB) est tangenet au cercle de ciamètre [CD] si et seulement si les droites (BC) et (AD) sont parallèles.

Exercice 5:
Dans le plan, on se donne un polygone convex à n côtés avec .
On désigne p la somme des longueurs de tous ses côtés et par d la somme des longueurs de toutes ses diagonales.

Montrez que < où E(x) désigne la partie entière de x.

Exercice 6:
Soient a , b , c , d des entiers positifs impairs vérifiant les conditions:

   * a < b < c < d

   * ad = bc

   * a + d = 2^k et b + c = 2^m , où k et m sont des entiers.

Montrez que a = 1.

CORRECTION