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       Correction Olympiades IMO Exercice 2

On commence par chercher une factorisation de .
Pour cela, on remarque que cette expression considérée comme polynôme P en a admet deux racines évidentes : 0 et b .De plus, P est de dégré 6 et plus précisement, .
Il existe donc un polynôme de degre 4 , Q , tel que : P(x) = x(x+b)bQ(x) .

On effectue alors la division euclidienne de P(x) par x(x+b) et on obtient .

De là, on remarque que
=

D'où le factorisation : =

Dire que est divisible par revient donc à dire que ( a²+ab+b² ) est divible par (car ab(a+b) est divisible par 7).

ou encore que modulo . Comme , on peut alors remarquer que le plus petit carré supérieur à 343 est 19² = 361.

Et comme 361 = 18 modulo , on obtient une solution à la question, à savoir :
                                              a = 1 et b = 18