Olympiades 1985

Exercice 1:

Un cercle, dont le centre est situé sur le côté [AB] d'un quadrilatère convexe ABCD, est tangent aux trois autres côtés.
Montrez que, si le quadrilatère ABCD es inscriptible, alors:

AD + BC = AB

Exercice 2:

Soit n un entier naturel, k un entier premier avec n compris entre 1 et n-1 et M l'ensemble {1 , 2 , 3 , .....,n-1}.
Chaque élément de M est coloré avec une des deux couleurs blanche ou bleue. On suppose :

  1. pour tout i de M, i et n-i sont de la même couleur;
  2. pour tout i de M tel que i # k , i et |i-k| sont de la même couleur.

Montrez que tous les éléments de M sont de la même couleur.

Exercice 3

Si P est un polynôme à coefficients entiers:

P(x) =a0 + a1x+a2x2+.....+akxk
on note w(P) le nombre de coefficients ai qui sont impairs.

Pour tout i entier positif ou nul, on pose Qi=(1+x)i.
Montrez que, pour toute famille d'entiers i1 , i2, .... in tels que -1 < i1 < i2 < ... < in, on a:

w(Qi1) < 1 + w(Qi1 +Qi2+....Qin)

Exercice 4:

Soit M un ensemble de 1985 entiers distincts strictement positifs, ayant tous leurs diviseurs premiers inférieurs ou égaux à 26.

Montrez que l'on peut trouver 4 éléments distincts de M dont le produit est la puissance quatrième d'un entier.

Exercice 5:

Soit un triangle ABC. Un cercle de centre O passe par les points A et C et recoupe les segments [AB] et [BC] en deux points distincts K et N.
On suppose que les cercles cisconscrits aux triangles ABC et KBN se rencontrent en deux points distincts B et M.

Montrez que le triangle OMB est rectangle en M.

Exercice 6:

Pour tout réel x1, on définit la suite (xn ) par la relation de récurrence:

xn+1 = xn(xn + 1/n), pour n supérieur ou égal à 1.

Montrez qu'il existe un et un seul réel xi tel que cette suite vérifie:

0 < xn < xn+1 < 1
pour tout n supérieur ou égal à 1.