Olympiades 1986

Soit d un entier strictement positif différent de 2 , 5 et 13.

Montrez que l'on peut trouver une couple ( a , b ) d'éléments distincts de l'ensemble {2 , 5 , 13 , d } tel que (ab - 1) ne soit pas le carré d'un entier

Exercice 2:

Dans le plan euclidien orienté, on donne un triangle A₁A₂A₃ et un point P₀.

On pose , pour tout entier s supérieur ou égal à 4, A_s = A_s-3.

La suite des points ( P_k)est définie par P₀ et par la relation de récurrence:

"Pour tout k, P_k+1 est l'image de P_k par la rotation de centre A_k+1 et d'angle "

Sachant que P₁₉₈₆ = P₀, montrez que le triangle A₁A₂A₃ est équilatéral.

Exercice 3:

A chaque sommet d'un pentagone régulier, on associe un entier relatif de telle sorte que la somme de cinq nombres soit strictement positive.

Si, à chaque sommets consécutifs, correspondent respectivement les nombres x, y , z , avec y < 0, alors on effectue l'opération suivante:

Peut-on effectuer une infinité d'opérations ou le nombre d'opérations est-il nécéssairement fini?

Exercice 4:

Soient A et B deux sommets consécutifs d'un polygone régulier à n (4 < n )côtés et de centre O. Un triangle XYZ isométrique à OAB est placé initialement de telle sorte que les points X, Y et Z coïncident respectivement avec les points O, A et B.

Le triangle XYZ se déplace dans le plan du polygone de façon à ce que les points Y et Z se trouvent sur les côtés du polygone et que X reste à l'intérieur de celui-ci.

Quelle figure décrit X lorsque Y parcourt entièrement le bord du polygone?

Exercice 5:

Déterminez toutes les applications f de l'ensemble IR⁺, ensemble des réels positifs ou nuls, dans lui-même, vérifiant les trois propriétés suivantes:

1. Pour tous x et y de IR⁺, f(xf(y)).f(y) = f(x+y) ,
2. f(2)=0 ,
3. Pour tout x dans [0 , 2 [ , f(x) est différent de 0.