Olympiades 1987

Soit l'ensemble S = {1 , 2 , ... ,n }, n entier strictement supérieur à 0.

On désigne par p_n( k ) le nombre de permutations de S ayant exactement k points fixes.

Montrez que :

Exercice 2:

Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus. La bissectrice intérieure de l'angle A coupe le côté [BC] en L et recoupe le cercle circonscrit au triangle en N.

On désigne respectivement par K et M les projections orthogonales de L sur les côtés [AB] et [AC]

Montrez que l'aire du quadrilatère AKNM et l'aire du triangle ABC sont égales.

Exercice 3:

Soient n nombres réels x₁ , x₂, ... x_n vérifiant:
et k un entier supérieur ou égal à 2.

Montrez qu'il existe n entiers non tous nuls a₁,a₂,...,a_n vérifiant:

1. pour tout entier i appartenant à {1,2,...,n}, |a_i| < k,
2. 

Exercice 4:

Montrez qu'il n'existe aucune application f de IN dans IN telle que pour tout entier naturel n,

Exercice 5:

On considère le plan euclidien. Soit n un entier supérieur ou égal à 3.

Montrez qu'il existe n points vérifiant:

1. Trois quelconques de ces points ne sont pas alignés,
2. La distance entre deux quelconques de ces points est irrationnelle,
3. L'aire du triangle déterminée par trois quelconques de ces points est rationnelle.

Exercice 6:

Soit n un entier naturel supétieur ou égal à 2.

Montrez que si k² + k + n est un nombre premier pour tout entier k tel que k soit compris, au sens large, entre 0 et alors k² + k + n est un nombre premier pour tout entier k compris, au sens large, entre 0 et n-2.