Exercice 4 Olympiades 1988 Correction <Retour
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Indications:
Utilisez le résultat suivant:
Si P est un polynôme de degré n :
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ....+ anxn
admettant n racines x1, x2, ... ,xn ,
alors x1+ x2+ ... +xn est égal à:
Cherchons à généraliser la question posée et considérons l'ensemble des x reéls tels
a étant un réel fixé strictement supérieur à 0.
Soit f est la fonction définie sur IR/{1,2,3,...,70} par :
Cette fonction est strictment décroissante sur tout intervalle sur lequel elle est définie car sa fonction dérivée est:
Le comportement de f au bornes de son ensemble de définition montre alors que:
- l'image de ]-oo ; 1[ par f est ] - oo ; 0[ ,
- pour tout i dans {1 , 2 , 3 , ..., 69 } , il existe un et seul xi dans ] i , i+1[ tel que f ( xi ) = a
- l'image de ] 70 ; +oo [ est ]0 ; +oo [ donc
il existe un réel x70 strictement supérieur à 70 unique tel que f ( x70) = a
De là, on en déduit que l'ensemble des x réels tels que
: est:
S = ] 1 ; x1 [ U ] 2 ; x2 [ U ......U ] 70 ; x70 [
S est bien une réunion d'intervalles disjoints. Sa longueur est:
L = (x1 - 1 ) + (x2 - 2 ) + ..... + (x70 - 70 ) = x1 + x2 + .....+ x70 - 2485
Posons alors P(x) = (f(x) - a)(x - 1)(x - 2) .....(x - 70) .
Après simplification, on remarque que P est un polynôme de degré 70, dont les racines sont les xi. De plus, on remarque que
P(x) = -ax70 + 2485(a+1)x69 + ......
La somme des racines de P est donc:
La somme des longueurs des intervalles de S est donc
ou encore :
Dans le cas particulier de 
, on obtient:
L = 1988