Olympiades 1988

On se place dans le plan. On considère deux cercles de rayons respectifs R et r (R > r) ayant le même centre ; P désigne un point fixe du cercle de rayon r et B un point variable du cercle de rayon R. (BP) recoupe cercle de rayon R eu point C et la perpendiculaire à (BP) en P recoupe le cercle de rayon r au point A (si elle est tangente à ce cercle alors A = P).
a) Trouver l'ensemble des valeurs prises par BC² + CA² + AB².
b) Trouver l'ensemble des milieux de [AB].

Exercice 2:

Soit n un entier strictement positif ; A₁, A₂, ., A_2n+1 sont 2n + 1 sous-ensembles d'un ensemble B vérifiant :
a) Chaque ensemble A_i contient exactement 2n éléments.
b) Pour tout (i, j) satisfaisant , contient exactement un élément.
c) Tout élément de B appartient à au moins deux des ensembles A_i.
Pour quelles valeurs de n est-il possible d'associer à tout élément de B la valeur 0 ou 1 de telle sorte que, dans chaque ensemble A_i, on trouve exactement n éléments affectés de la valeur 0 ?

Exercice 3:

On désigne par f l'application de l'ensemble des entiers strictement positifs dans lui-même définie par :
f (1) = 1, f(3) = 3, et pour tout n > 0,
f(2n) = f(n),
f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n),
f(4n + 3) = 3 f(2n + 1) - 2f(n).
Déterminer le nombre des entiers n, , pour lesquels f(n) = n.

Exercice 4:  Correction

Montrer que l'ensemble des réels x qui vérifient l'inéquation  est une réunion d'intervalles disjoints dont la somme des longueurs a pour valeur 1988.

Exercice 5:

ABC est un triangle rectangle en A et D est le pied de la hauteur issue de A.

droite joignant les centres des cercles inscrits dans les triangles ABD et ACD coupe respectivement (AB) et (AC) en K et L.

S et T les aires des triangles ABC et AKL.
Montrer que .

Exercice 6:

Soient a et b deux entiers strictement positifs tels que ab + 1 divise a² + b².
Montrer que est un carré parfait.