Olympiades 1989

Démontrer que l'on peut décomposer l'ensemble {1, 2, ., 1989} en 117 sous-ensembles deux à deux disjoints A₁, A₂, ., A₁₁₇ tels que :
a) chaque A_i contient 17 éléments,
b) la somme des éléments de chaque A_i est la même pour tout i.

Exercice 2:

Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus. Les bissectrices intérieures des angles A, B et C recoupent le cercle circonscrit au triangle ABC respectivement en A₁, B₁ et C₁.
On appelle A₀ le point d'intersection de la bissectrice intérieure (AA₁) avec les bissectrices extérieures des angles B et C. Les points B₀ et C₀ sont définis de manière analogue.
Prouver que :
a) l'aire du triangle A₀B₀C₀ est le double de l'aire de l'hexagone AC₁BA₁CA₁,
b) l'aire du triangle A₀B₀C₀ est supérieure ou égale à quatre fois l'aire du triangle ABC.

Exercice 3:

On considère deux entiers strictement positifs k et n et un ensemble S de n points du plan tels que :
a) trois points quelconques de S ne sont pas alignés,
b) pour tout point P de S, il existe au moins k points distincts dans S situés à une même distance de P.
Démontrer que .

Exercice 4:

Le quadrilatère convexe ABCD possède les propriétés suivantes :
a) AB = AD + BC,
b) il existe un point P à l'intérieur du quadrilatère, situé à une distance h de la droite (CD) tel que AP = h + AD et BP = h + BC.
Démontrer que .

Exercice 5:

Démontrer que pour tout entier strictement positif n, il existe n entiers strictement positifs consécutifs tels qu'aucun d'entre eux ne soit une puissance entière d'un nombre premier.

Exercice 6:

• Soit n un entier naturel non nul. On dit qu'une permutation (x₁, x₂, ., x_2n) de l'ensemble {1, 2, ., 2n} possède la propriété P si |x_i - x_i+1| = n pour au moins un i dans {1, 2, ., 2n - 1}.
  Démontrer que, pour chaque n, il y a strictement plus de permutation possédant la propriété P que de permutation ne la possédant pas.