en
fonction de 
.Olympiades 1990
Exercice 1:
A, B, C et D sont quatre points distincts d'un
même cercle tels que [AB] et [CD] se coupent en E ;
M est un point de [BE] distinct de B et de
E.
La tangente en E au cercle circonscrit à DEM coupe
respectivement (BC) et (AC) en F et G.
Calculez
en
fonction de .
Exercice 2:
Sur un cercle on se donne un ensemble E de 2n - 1
points distincts (n > 2).
Si exactement k de ces
points sont coloriés en noir, cette coloration est dite " bonne "
s'il existe au moins une paire de points noirs telle que l'un des deux arcs
ouverts formés par ces deux points contienne exactement n points de
E.
Trouvez la plus petite valeur de k pour laquelle toute coloration en noir de k points de E exactement est " bonne ".
Exercice 3:
Déterminez tous les entiers n, strictement supérieurs à 1, tels que
soit entier.
Exercice 4:
désigne l'ensemble des rationnels strictement positifs.
Construisez une
application f de dans vérifiant : 
.
Exercice 5:
Deux joueurs A et B choisissent alternativement des entiers ; on désignera respectivement par n1, n3, ., n2k+1, . et par n2, n4, ., n2k+2, . les nombres choisis par A et B.
Un entier n0 supérieur ou égal à 2 est
donné ; A choisit n1 vérifiant 
puis
B choisit n2 tel que 
soit une puissance entière
strictement positive d'un nombre premier ; si B a choisi
n2k, A choisit n2k+1
vérifiant 
, puis B choisit n2k+2 tel que 
soit une
puissance entière strictement positive d'un nombre premier.
A est vainqueur s'il choisit 1990, B est vainqueur s'il choisit 1.
a) Pour quelles valeurs de n0 le joueur A peut-il assurer sa victoire ?
b) Pour quelles valeurs de n0 le joueur
B peut-il assurer sa victoire ?
c) Pour quelles valeurs de
n0 chacun des deux joueurs peut-il empêcher l'autre de
gagner ?
Exercice 6:
Prouvez qu'il existe un polygone convexe ayant 1990 côtés vérifiant les deux propriétés :
a) le polygone a tous ses angles égaux,
b) les longueurs des côtés forment une permutation des nombres 12, 22, ., 19892, 19902.