Olympiades 1991

Soit ABC un triangle. On désigne respectivement par A', B', C' les points d'intersection des bissectrices intérieures de , et avec les côtés [BC], [CA] et [AB], et par I le centre du cercle inscrit.

Montrez que .

Exercice 2:

Soit n un entier naturel strictement supérieur à six et a₁, a₂, ., a_k tous les entiers compris strictement entre 0 et n et qui sont premiers avec n.

On suppose que a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = . = a_k - a_k-1 > 0.

Montrez que n est soit un nombre premier, soit une puissance entière de deux.

Exercice 3:

Soit S l'ensemble {1, 2, ., 280}.

Trouvez le plus petit entier n tel que dans chaque sous-ensemble de n éléments de S, il y ait 5 éléments qui soient premiers entre eux deux à deux.

Exercice 4:

Soit G un graphe connexe ayant exactement k arêtes. Montrer qu'il est possible de numéroter ces arêtes par l'ensemble de tous les entiers 1, 2, ., k de telle sorte que pour tout sommet v de G appartenant à au moins deux arêtes, les nombres donnés aux arêtes contenant v on pour plus grand diviseur commun un.

" Un graphe est la donnée d'un ensemble de points, appelés sommets, et d'un ensemble d'arêtes constituées de certaines paires de sommets distincts ; une paire de sommets distincts constitue au plus une arête. Le graphe est dit connexe si et seulement si pour toute paire de sommets distincts x et y, il existe une suite finie de sommet x = v₀, v₁, ., v_m = y telle que chaque paire v_i, v_i+1 avec soit une arête."

Exercice 4:

Soit ABC un triangle et P un point intérieur à ce triangle. Montrer que parmi les trois angles , et , l'un au moins est inférieur ou égal à 30°.

Exercice 5:

Une suite infinie x₀, x₁, x₂, . de nombres réels est dite bornée si et seulement s'il existe un réel C tel que pour tout i on ait .
Soit a un réel strictement supérieur à un. Trouver une suite infinie bornée de nombres réels x₀, x₁, x₂, . telle que pour tout couple d'indices (i, j) tel que on ait .