Olympiades 1992

Trouver tous les entiers a, b et c vérifiant 1 < a < b < c et tels que (a - 1)(b - 1)(c - 1) divise abc - 1.

Exercice 2:

IR désigne l'ensemble des nombres réels. Trouver toutes les applications f de IR dans IR vérifiant 

Exercice 3:

Dans l'espace, on se donne un ensemble de neuf points tels que quatre quelconques d'entre eux ne soient pas coplanaires. Chaque paire de ces points définit une arête (à savoir le segment joignant ces deux points) et chaque arête est soit coloriée en bleu, soit coloriée en rouge, soit non coloriée. Trouver le plus petit entier n vérifiant :

"Quelle que soit la façon dont on colorie exactement n arêtes, l'ensemble de ces arêtes coloriées contient un triangle ayant comme côtés trois arêtes de la même couleur."

Exercice 4:

Dans le plan on se donne un cercle C, une droite L tangente à ce cercle C et un point M de L.

Trouver l'ensemble des points P du plan tels qu'il existe deux points Q et R de L vérifiant les deux conditions : M est le milieu de [QR] et C est le cercle inscrit dans PQR.

Exercice 5:

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O, x, y, z) et S est un ensemble fini de points de cet espace. On désigne respectivement par S_x, S_y et S_z les ensembles constitués par les projections orthogonales des points de S sur les trois plans (O, y, z), (O, z, x) et (O, x, y).

Montrer que où désigne le nombre d'éléments de l'ensemble fini A.

Exercice 6:

Pour tout entier n supérieur ou égal à un, on désigne par S(n) le plus grand entier vérifiant la propriété : quel que soit l'entier k, , n² s'écrit sous la forme d'une somme de k carrés d'entiers strictement positifs.
a) Montrer que pour tout entier n > 3, .
b) Trouver un entier n tel que S(n) = n² - 14.
c) Montrer qu'il existe une infinité d'entiers n tels que S(n) = n² - 14.