Olympiades 1993

Exercice 1:
Soit f(x) = xn + 5xn-1 + 3 où n > 1 est un entier.

Montrer que f(x) n'est pas le produit de deux polynômes dont chacun est à coefficients entiers et a un degré au moins égal à un.

Exercice 2:
Soit ABC un triangle dont tous les angles sont aigus et D un point à l'intérieur de ce triangle vérifiant :
et .

a) Déterminer le rapport .

b) Montrer que les tangentes, au point C, aux cercles circonscrits aux triangles ACD et BCD sont orthogonales.

Exercice 3:  Voir La Correction
Sur un échiquier de taille illimitée, un joueur procède de la manière suivante : au début, n2 jetons sont disposés sur l'échiquier dans un tableau carré de côté n, un jeton sur chaque case.

Dans ce jeu, un coup consiste à sauter, horizontalement ou verticalement, au-dessus d'une case adjacente occupée par un jeton, vers une case vide située immédiatement derrière. La pièce sautée est alors enlevée de l'échiquier.

Trouver pour quelles valeurs de n le jeu peut se terminer avec un seul jeton sur l'échiquier.

Exercice 4:
Pour trois points P, Q et R du plan, on définit m(PQR) comme le minimum des longueurs des hauteurs du triangle PQR (dans le cas ou P, Q et R sont alignés, m(PQR) = 0).
Soient A, B et C trois points donnés du plan.

Montrer que pour tout point X du plan on a :
.

Exercice 5:
 Soit .

Déterminer s'il existe une application vérifiant :

.

 

Exercice 6:
 Soit n > 1 un entier.
On se donne n lampes L0, L1, ., Ln-1 disposées sur un cercle. Chaque lampe est soit en position " marche ", soit en position " arrêt ".
On effectue une suite d'opérations S0, S1, ., Si, .
L'opération Sj n'affecte que la lampe Lj (en laissant toutes les autres lampes dans le même état) et consiste à :
- si Lj-1 est en position " marche ", Sj change l'état de la lampe Lj en la passant de la position " marche " à la position " arrêt " ou de la position " arrêt " à la position " marche " ;
- si Lj-1 est en position " arrêt ", Sj ne change pas l'état de la lampe Lj.
(Les lampes sont prises modulo n : L-1 = Ln-1, L0 = Ln.).
Initialement, toutes les lampes sont en position " marche ".

Montrer :

a) il existe un entier strictement positif M(n) tel qu'après M(n) opérations toutes les lampes sont, à nouveau en position " marche " ;
b) si n est de la forme 2k, toutes les lampes sont en position " marche " après n2 - 1 opérations ;
c) si n est de la forme 2k + 1, toutes les lampes sont en position " marche " après n2 - n + 1 opérations