Olympiades 1994

Soient m et n deux entiers strictement positifs et a₁, a₂, ., a_m des éléments distincts de l'ensemble {1, 2, ., n}. On suppose que, chaque fois que, pour i et j tels que , a_i + a_j est inférieur ou égal à n, il existe k, tel que a_i + a_j = a_k. Démontrer que :
.

Exercice 2:
ABC est un triangle isocèle ou AB = AC. On suppose que :

a) M est le milieu de [BC] et O est le point de la droite (AM) tel que la droite (OB) soit perpendiculaire à la droite (AB) ;

b) Q est un point quelconque de [BC] distinct de B et de C ;
c) E est un point de (AB) et F de (AC) tels que E, Q et F soient alignés et distincts.

Montrer que (OQ) est perpendiculaire à (EF) si et seulement si QE = QF.

Exercice 3:
Pour tout entier k strictement positif, f(k) est le nombre d'éléments de l'ensemble {k + 1, k + 2, ., 2k} dont la représentation en base 2 contient exactement trois fois le chiffre 1.

a) Montrer que pour tout entier strictement positif m, il existe au moins un entier strictement positif k tel que f(k) = m.

b) Trouver tous les entiers strictement positifs m pour lesquels il existe un unique entier k tel que f(k) = m.

Exercice 4:
Trouver tous les couples (m, n) d'entiers strictement positifs tels que soit entier.

Exercice 5:
Soit S l'ensemble des réels strictement supérieurs à -1. Trouver toutes les applications vérifiant les deux conditions :
a) pour tout x et y de S : f(x + f(y) + xf(y)) = y + f(x) + yf(x) ;
b) la fonction est strictement croissante sur chacun des intervalles et .

Exercice 6:
Montrer qu'il existe un ensemble A d'entiers strictement positifs ayant la propriété suivante :

pour tout ensemble infini S constitué de nombres premiers, il existe un entier k supérieur ou égal à deux et deux entiers strictement positifs et , chacun d'eux étant un produit de k éléments distincts de S.