.Olympiades 1995
Exercice 1:A, B, C et D sont, dans cet ordre, quatre points distincts d'une même droite. Les cercles de diamètre [AC] et [BD] se coupent aux points X et Y. La droite (XY) rencontre (BC) au point Z. Soit P un point de (XY), distinct de Z. La droite (CP) rencontre le cercle de diamètre [AC] aux points C et M et la droite (BP) rencontre le cercle de diamètre (BD) aux points B et N.
Montrer que (AM), (DN) et (XY) sont concourantes.
Exercice 2:
Soient a, b et c des nombres réels positifs vérifiant abc = 1.
Montrer :.
Exercice 3:
Trouver tous les entiers n strictement supérieurs à 3 pour lesquels
il existe n points A1, A2, .,
An et des nombres réels r1,
r2, ., rn vérifiant les deux
conditions :
a) trois quelconques des points A1,
A2, ., An ne sont pas
alignés ;
b) pour tout triplet
(i, j, k) (
), l'aire du triangle
AiAjAk a pour valeur
ri + rj + rk.
Exercice 4
Trouver la plus grande valeur de x0 pour laquelle il
existe une suite x0, x1, .,
x1995 de nombres réels strictement positifs vérifiant les
deux conditions :
a)
x0 = x1995 ;
b) pour
tout i, 
, 
.
Exercice 5:
Soit ABCDEF un hexagone convexe tel
que :
AB = BC = CD,
DE = EF = FA et 
.
Soient G et
H deux points intérieurs à l'hexagone tels que 
.
Montrer que 
.
Exercice 6:
Soit p un nombre premier impair. Trouver le nombre de
sous-ensembles A de l'ensemble {1, 2, ., 2p} tels
que :
a) A contient exactement p éléments ;
b)
la somme de tous les éléments de A est divisible par
p.