Olympiades 1996

ABCD est un tableau rectangulaire dans lequel AB = 20 et BC = 12. Ce tableau est subdivisé en 240 carrés unité. On se donne un entier strictement positif r.
Un jeton peut se déplacer d'un carré à un autre si et seulement si la distance des centres de ces deux carrés est exactement .
Le but est de trouver une suite de déplacement amenant le jeton du carré ayant pour sommet A au carré ayant pour sommet B.

a) Montrer que ceci ne peut pas être réalisé si r est divisible par 2 ou par 3.

b) Montrer que ceci peut être réalisé si r = 73.

c) Ceci peut-il être réalisé si r = 97 ?

Exercice 2:

P est un point à l'intérieur du triangle ABC tel que .
Soient D et E les centres des cercles inscrits respectivement dans les triangles APB et APC.

Montrer que (AP), (BD) et (CE) sont concourantes.

Exercice 3:

Soit S = {0, 1, 2, .} l'ensemble des entiers positifs ou nuls.
Trouver toutes les applications de S dans S telles que f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) pour tous m et n de S.

Exercice 4:

Les entiers strictement positifs a et b sont tels que les nombres 15a + 16b et 16a - 15b sont tous les deux des carrés d'entiers strictement positifs.

Trouver la plus petite valeur pouvant être prise par le minimum de ces deux carrés.

Exercice 5:

Soit ABCDEF un hexagone convexe tel que (AB) soit parallèle à (ED), (BC) soit parallèle à (FE) et (CD) soit parallèle à (AF).
Soient R_A, R_B et R_E les rayons des cercles circonscrits respectivement aux triangles FAB, BCD et DEF et soit p le périmètre de l'hexagone.
Montrer que .

Exercice 6:

Soient n, p et q des entiers strictement positifs tels que n > p + q.
Soient x₀, x₁, ., x_n des entiers vérifiant les deux conditions suivantes :
a) x₀ = x_n = 0 ;
b) pour tout entier i, , on a soit x_i - x_i-1 = p soit x_i - x_i-1 = -q.
Montrer qu'il existe un couple d'indices (i, j) avec i < j et tel que x_i = x_j.