Correction Exercice 1 Olympiades 1997

Pour un polygône quelconque P, posons S1(P) l'aire de la partie noire comprise dans P et S2(P) l'aire de la partie blanche comprise dans P.

a:
Pour un triangle ABC rectangle en A dont les dont les sommets sont à coordonnées entiéres et tel que AB=m et AC=n, considérons le point D tel que ABDC soit un rectangle.

Soit K le milieu de [BC].
Si m et n sont tous les deux pairs ou impairs (c.a.d, si ils ont même parité), alors par symétrie, on a: De là, on obtient :
f(m , n) = |S1(ABC) - S2(ABC) | = ½ |S1(ABDC) - S2(BADC)|
D'où

b:
Dans le cas où m et n ont même parité, d'après la question précédente, l'inégalité demandée est évidente.
Si m et n ont des parités différentes, par exemple, si m est impair et n est pair, considérons toujours un rectangle ABC rectangle en A comme précédemment, en posons L comme étant le point du segment [AB] tel que AL=(m-1).

Remarquons que l'aire du triangle LBC est :
n.m n.(m-1) n
Aire(LBC)=
-
=
2 2 2

Comme (m-1) et n sont tous deux pairs, on a:
f(ALC) = 0
ou encore
S1(ALC) = S2(ALC)
De là, on en déduit que:
f(m , n) =|S1(ABC) - S2(ABC)| = |S1(LBC) - S2(LBC)|
La dernière expression est inférieure à l'aire du triangle LBC qui est égale à (n/2).

D'où la conclusion en remarquant que (n/2) est inférieur à (1/2)Max(m , n).

c:
On peut démontrer que k est un entier positif, alors .

Pour cela, posons m=2k+1 et n=2k , reprenons les mêmes notations que dans la question (b:), le point L étant sur [AB] avec AL=2k.
On sait alors que f(2k , 2k) = 0 que S1(LBC) = S2(ALC) et que:

f(2k+1 , 2k) = |S1(LBC) - S2(LBC)|
L'aire du triangle LBC est k.
On peut supposer, que la diagonale LC passe uniquement par des carrés noirs.

Ainsi, la partie blanche du triangle LBC se compose d'une suite de triangles BLM2k, M2k-1L2k-1N2k-1, ... , M1L1N1, chacunde ces triangles étant semblables au triangle BAC.
Leur aire totale est alors:

D'où, comme l'aire du triangle LBC est k,

De là, on en déduit que l'on a bien

Cette expression n'étant pas bornée sur l'ensemble des entiers naturels, on a la réponse à la question c: