Olympiades 1997

Exercice 1:

Dans le plan, les points à coordonnées entières sont les sommets de carrés unités. Les carrés sont coloriés alternativement en blanc et en noir (comme sur un échiquier).

Pour tout couple d'entiers strictement positfs m et n , on considère un triangle rectangle dont les sommets sont des points à coordonnées entières et dont les côtés de l'angle droit, de longueur m et n , suivent les côtés des carrés.

Soit S 1 l'aire l'aire totale de la partie noire du triangle et S 2 l'aire totale de la partie blanche.

On pose : f(m,n) = | S 1 - S 2 |.

a) Calculez f(m,n) pour tous les entiers strictement positifs m et n qui sont tous deux pairs ou tous deux impairs.

b) Montrez que pour tout m et n, .

c) Montrez qu'il n'existe pas de constante C telle que pour tout m et n , .

Exercice 2:

L'angle A est le plus petit dans le triangle ABC. Les points B et C divisent le cercle circonscrtit au triangle en deux arcs.

Soit U un point intérieur à l'arc limité par B et C qui ne contient pas A.

Les médiatrices des segments [AB] et [BC] recontrent la droite (AU) respectivement en V et W.

Les droites (BV) et (CW) se coupent au points T.

Montrez que AU = TB + TC.

Exercice 3:

Soient ,....., des réels vérifiant les conditions suivantes:

pour tout k = 1 , 2 , ...., n.

Montrez qu'il existe une permutation ( ,....., ) de ( ,....., ) telle que:

Exercice 4:

Une matrice carrée à n lignes et n colonnes, à éléments dans l'ensemble S = {1 , 2 , .... , 2n - 1} est appelée matrice d'argent si, pour tout i = 1, 2 , ... , n, la réunion de la i-ème ligne et de la i-ème colonne contient tous les éléments de S.

Montrez que:

a) Il n'existe pas de matrice d'argent pour n = 1997.

b) Il existe des matrices d'argent pour une infinité de valeurs de n.

Exercice 5:

Trouvez tous les couples ( a , b ) d'entiers avec a et b supérieurs ou égaux à 1 vérifiant:

Exercice 6:

Pour tout entier n >0, on désigne par f(n) le nombre de façons de représenter n comme une somme de puissances de 2 à exposants positifs ou nuls.

Deux représentations qui ne différent que par l'ordre des termes de la somme sont considérées comme identiques.

Par exemple, f (4) = 4 car 4 = 4 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 .

Montrez que, pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on a : < <