Correction Exercice 2 Olympiades IMO 1998
Appelons N le nombre de triplets (juge, juge ,concurrent) pour
lesquels les deux juges donnent la même appréciation
sur le candidat.
Il y a b(b-1)/2 couples de juges
distincts au total et au plus k candidats ayant la même appréciation
pour deux juges, donc, on a:
N
< k.b.(b-1).
Si X est un candidat fixé,
et estimons le nombre de pairs de juges donnant la même appréciation
sur X.
Supposons que n juges admettent X. Alors on a n(n-1)/2
couples de juges admettant X et
(b-n)(b-n-1)/2
qui refusent X.
Donc, au total, n(n-1)/2+(b-n)(b-n-1)/2
couples qui ont la même appréciation sur X.
Mais
[n(n-1) + (b-n)(b-n-1)]/2 = [2n²-2bn+b²-b]/2
=
[n-b/2]² - b²/4-b/2
>
b²/4 - b/2 = (b-1)²/4-1/4.
Comme
b est impair, (b-1)²/4 est entier.
Donc, le
nombre de couples de juges ayant la même appréciation
sur X est au moins ègal à
(b-1)²/4.
Donc,
N > a(b-1)²/4.
Des deux inégalités : N < kb
et N > a(b-1)²/4
, on en déduit que :
En
fait, c'est une inégalité assez "large"
que l'on obtient!!!